رتبة (جبر خطي)

  لمعلومات عن معانٍ أخرى، طالع رتبة (توضيح).

  ميّز عن مرتبة (رياضيات).

رُتْبَة المصفوفة (بالإنجليزية: Rank of the matrix) في الجبر الخطي،هو أكبر عدد من الأعمدة المستقلة خطياً، بحيث عمود المصفوفة A هي تنظيم مستطيل ذو البعد n×1 , كما هو موضح في الصورة أسفله.

أعمدة مصفوفة لها الرتبة 4 (rank = 4) لعدم ارتباط العناصر في كل من الأعمدة خطياً

التعاريف الرئيسية

تساوي رتبة المصفوفة بُعد الفضاء المتجهي الذي تولده عائلة الأعمدة الخاصة للمصفوفة.

بشكل رياضي :

إذا كانت C1,C2,C3,...,Cn هي مجموعة الأعمدة للمصفوفة A، فإن:

rank(A)=dim(span(C1,C2,...,Cn))

حيث أن n هو عدد الأعمدة في المصفوفة

يمكننا أن نستنتج أن رتبة المصفوفة المنقولة تساوي رتبة المصفوفة لأنها تمثل نفس البُعد ولكن في الفضاء الجزئي المختلف.

الفضاء العمودي للمصفوفة هو نفسه فضاء الصفوف للمصفوفة ، لأن أعمدة المصفوفة المنقولة هي نفسها صفوف المصفوفة .

ولإيجاد المنقولة للمصفوفة، يتم ببساطة تبديل الصفوف مع الأعمدة.

التسمية

يمكن أن نرمز لمصفوفة معينة بأي حرف أبجدي كبير A , B أو C ... إلخ أو نسميها بأي اسم.

أمثلة

المصفوفة:

${\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$

يوجد هنا رتبة عدد 2: أول صفين مستقلين عامودياً، وبالتالي فإن رتبهما هي 2 على الأقل، وذلك لأن كل الصفوف الثلاثة تعتمد اتجاه عامودي (الأول هو مساوي لمجموع الثانية والثالثة) لذلك يجب أن تكون مرتبة أقل من رتبة 3. المصفوفة

$A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$

رتبة أ = عدد الصفوف × عدد الأعمدة = 2×3 .

أ 31 هي مدخلة الصف الأول والعمود الثالث = 1 .

أ 22 هي مدخلة الصف الثاني والعمود الثاني = 4 .

لدينا رتبة 1: هناك أعمدة غير صفرية، وبالتالي فإن رتبة إيجابية، ولكن أي زوج من الأعمدة يعتمد خطيا. وبالمثل، فإن تبديل أعمدة منقولة المصفوفة أ هو لإيجاد المقولة.

$A^{T}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$

, i.e., rk(A) = rk(A^T).

انظر أيضاً

• العنصر الصفري (رياضيات)