هذه المقالة أو بعض مقاطعها بحاجة لزيادة وتحسين المصادر.

نسبة ذهبية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من رقم ذهبي)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
تحتاج هذه المقالة أو المقطع إلى مصادر ومراجع إضافية لتحسين وثوقيتها. قد ترد فيها أفكار ومعلومات من مصادر معتمدة دون ذكرها.
رجاء، ساعد في تطوير هذه المقالة بإدراج المصادر المناسبة. هذه المقالة معلمة منذ مارس 2016.
التقسيم الذهبي هو تقسيم لمستقيم بحسب النسبة الذهبية. بحيث يكون الطول الكلي a+b بالنسبة لطول القطعة الأطول a مساوياً للنسبة بين a إلى القطعة الأقصر b.

النسبة الذهبية في الرياضيات تحقق عندما تكون النسبة لمجموع قيمتين عدديتين والأكبر بينهما تساوي النسبة بين أكبر العددين والأصغر بينهما. وهو عبارة عن ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا.

لو نُظر إلى مستطيلات مختلفة، لوُجد بعضها أجمل من الآخر. وفي معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المستطيلات بعضها إلى بعض هي نفسها. وتسمى هذه المستطيلات "المستطيلات الذهبية" وخارج قسمة طولها على عرضها يسمى "الرقم الذهبي".

طريقة إنشاء المستطيل الذهبي. المربع مبين باللون الأحمر

فنجد أنه في المستطيل الذهبي :

معادلة الرقم الذهبي.gif

وجرت العادة أن يكتب الرقم الذهبي باعتماد الحرف الاغريقي "في" أو \varphi. وقد ظهرت هذه التسمية سنة 1914 وفاء لذكرى "فيدياس"، وهو نحّات قام بتزيين "البارثينون" في أثينا.

ويظهر الرقم الذهبي أيضا في أشكال هندسية أخرى منها خماسي الأضلاع المنتظم، وهو شكل هندسي ذو خمس أضلاع ومحتوى في دائرة، وأضلاعه وزواياه كلها متقايسة. وفي هذا الشكل يمثل خارج قسمة القطر على أحد الأضلاع الرقم الذهبي.

قيمته العددية[عدل]

Image010.jpg
Image007.png

قيمة الرقم الذهبي الدقيقة هي \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} كما يمكن إثبات أنّ قيمتها 2cos(36^o)\, أيضا ولإيجاد قيمة تقريبية لهذا الرقم يمكننا استعمال آلة حاسبة. قيمة \varphi التقريبية هي 1.618 ولكن عدد الأرقام العشرية لا متناهية ولا يمكن توقّعها أو التكهن بها.

ويمكننا أيضا اعتماد متوالية أو "سلسلة فيبوناتشي" للاقتراب من الرقم الذهبي، وقد تم وضع هذه المتوالية في العصر الوسيط على يد عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو دا بيزّا (نسبة إلى بيزّا المدينة الإيطالية) المسمّى "فيبوناتشي"، لدراسة تكاثر الأرانب.

وأول رقمين في هذه السلسلة هما 1. ولإيجاد مختلف عناصرها، نجمع العنصرين السابقين. فنحصل بالتالي على السلسلة التالية :

و بقسمة كل عنصر على سابقه (بداية من الـ1 الثاني)، نقترب شيئا فشيئاً من الرقم الذهبي

و في النهاية، يمكننا اعتماد هذا الكسر المستمر لإيجاد قيمة قريبة من قيمة φ :[1]

\varphi = 1+ \frac 1{1 + \frac 1{1 + \frac 1 {1 + \frac 1{1 + \cdots}}}}

الاستفادة منه[عدل]

صورة جوية للبنتاغون، يظهر فيه المخمس، حيث نسبة طول الوتر إلى طول الضلع يساوي النسبة الذهبية

الرقم الذهبي معروف على الأرجح منذ عصور ما قبل التاريخ. فقد أستعمله مهندسون وفنانون كثيرون منذ العصور القديمة. فمثلا هرم "خوفو"، المبني في سنة 2800 ق.م. تقريبا، يظهر أن مهندسه استعمل الرقم الذهبي وكذلك شأن مبنى "البارثينون" بأثينا، الذي تم بناؤه في القرن الخامس ق.م وأيضا يوجد إشارة إلى هذه النسبة في بناء أهرامات الجيزة في مصر.

وفي عصر النهضة، استعمل العديد من الرسّامين (مثل "بييرو ديلاّ فرانشيسكا" أو "ليوناردو دا فينشي") المظاهر الجمالية المرتبطة بالرقم الذهبي في لوحاتهم. وقد أبرز "دا فينشي" كذلك كتابا يبيّن الخصائص الرياضية والجمالية والعجيبة للرقم الذهبي ويسمى هذا الكتاب " "De divina proportio (أو التناسب الإلهي) وقد ألفه كاهن إيطالي اسمه "فرا لوكا باشيولي".

و يظهر الرقم الذهبي كذلك في ميدان الموسيقى ذلك أن صانع الكمانات الإيطالي "أنتونيو ستراديفاري" (و اشتهر "ستراديفاريوس") استخدم هو الآخر هذا الرقم في صنع كماناته الشهيرة مع نهاية القرن السابع عشر للميلاد.

و في القرن العشرين، أهتم العديد من المهندسين والرسامين بالرقم الذهبي في إنجازاتهم، وبالخصوص المهندس الفرنسي "لو كوربيسيي" والرسّام الإسباني "سلفادور دالي".

ويستخدم الرقم الذهبي أيضًا في الأسواق المالية وأسواق العملات والمعادن، بل هو من أهم الأدوات المستخدمة في التحليل الفني لتلك الأسواق؛ فعندما تقوم أسعار الأوراق المالية - أو العملات أو المعادن - بتصحيح مسارها (بمعنى أن تنخفض بعد اتجاه صعودي، أو ترتفع بعد اتجاه هبوطي) يقوم المحللون الفنيون لتلك الأسواق بحساب نسب ارتدادات الأسعار (أي تحديد مدى ذلك الارتفاع أو الانخفاض)، وتلك النسب كلها مشتقة من الرقم الذهبي.

خصائصه[عدل]

بالإضافة إلى ميزاته الجمالية، فإن الرقم الذهبي يمتاز بخاصية جبريّة مهمّة، إذ أنه يكفي أن تضيف إليه 1 لتجد مربّعه (أي \varphi \times \varphi). وبعبارة أخرى فإن :

\varphi^2 = \varphi + 1

و هذه الصيغة الأخيرة هي الصيغة العامة لتعريف الرقم الذهبي.

و هناك خاصية أخرى تنجرّ عن السابقة وهي أنه يكفي أن ننقص الرقم الذهبي من 1 حتى نجد مقلوبه (أي 1 \over \varphi) وبالتالي فإن :

1 -{1 \over \varphi} =  \varphi

بصورة عامة، يمكن القول أنَّ : \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}

وأيضاً: \frac{n}{\varphi}=n\varphi-n


طريقة استنتاج كل من العلاقات السابقة
  • أولاً: لإثبات أن \varphi^2=\varphi+1
\varphi=\frac{\varphi}{1}=\frac{\varphi+1}{\varphi}\;

بما أن جداء طرفي كسرين متكافئين يساوي جداء وسطيه، فإن:

\varphi^2=\varphi+1\!
  • ثانياً: إثبات أن \frac{1}{\varphi}=\varphi-1 نثبت أن جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين، فنثبت أن:
1\times 1=\varphi\times (\varphi-1)\!

باختزال العلاقة السابقة:

1=\varphi^2-\varphi\!

نعوض \varphi^2=\varphi+1 فنحصل على:

1=\varphi+1-\varphi=1\!

فينتج من تساوي العلاقة السابقة أن جداء طرفي الكسر يساوي جداء وسطيه، وبالتالي تثبت صحة العلاقة: \frac{1}{\varphi}=\varphi-1

  • ثالثا: إثبات أن \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2} :
نكتب :
\varphi=\frac{\varphi^{n-1}}{\varphi^{n-2}}\!

العلاقة السابقة صحيحة لأنه عند قسمة عددين ذوي أساسين متساويين فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع إلى حاصل طرح الأسس

بالاستفادة من علاقة النسبة الذهبية نقول:
\frac{\varphi^{n-1}}{\varphi^{n-2}}=\frac{\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}}{\varphi^{n-1}}\!


\varphi=\frac{\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}}{\varphi^{n-1}}=\frac{\varphi^n}{\varphi^{n-1}}\!

نضرب طرفي المعادلة بـ \varphi^{n-1} فنحصل على القانون: \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}

  • رابعاً: إثبات أن \frac{n}{\varphi}=n\varphi-n
يمكن القول أن:
\frac{n}{\varphi}=n\times(\frac{1}{\varphi})
نعوض \frac{1}{\varphi}=\varphi-1 فنقول:
\frac{n}{\varphi}=n\times (\varphi-1)\!
باختزال ما سبق نحصل على القانون:
\frac{n}{\varphi}=n\varphi-n\!

تجلياته[عدل]

يظهر الرقم الذهبي في العديد من الإنجازات الإنسانية، ولكن أيضا في الطبيعة بعض الأحيان وبشكل تقريبي مثل:

نجمة خماسية منتظمة، تكون نسبة طول ضلع النجمة إلى طول ضلع المخمس يساوي النسبة الذهبية.
  • الشكل الهندسي لنجم البحر الذي يمتاز بشكل خماسي الأضلاع المتداخل.
  • شكل قوقعة الحلزون الهندسي.
  • أو في زهرة دوار الشمس أو في حراشف الصنوبر ("تفاح الصنوبر").
  • ويبدو أيضا أن خارج قسمة الطول الإجمالي لجسم الإنسان على ارتفاع السرة عن الأرض مساو، هو الآخر، للرقم الذهبي.

موقع الكعبة المشرفة[عدل]

موقع الكعبة في مكة بالنسبة للمسافة بين القطب الشمالي والجنوبي تم حسابهُ بدقة متناهية ويساوي 1.618 ، وهذا دليل على اعجاز الهي لا يستطيع البناء الذي بناها النبي ابراهيم مهما أوتي من علم ان يحددها بهذه الدقة ويمكن الرجوع لخرائط جوجل في موقع جوجل إيرث[2]، حيث ان: المسافة بين القطبين = 19992.56 كم المسافة بين القطب الجنوبي والكعبة=12356.34 كم المسافة بين الكعبة والقطب الشمالي =7636.22 كم.

انظر أيضا[عدل]

المصادر[عدل]

  1. ^ Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight (1998). Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme. Brooks/Cole Pub. Co. ISBN 0-534-95211-9. 
  2. ^ موقع جوجل أيرث http://www.google.com/intl/ar/earth/

وصلات خارجية[عدل]