نظرية ذات الحدين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
المعاملات الثنائية تظهر مداخل في مثلث باسكال حيث كل مدخل هو مجموع المدخلين الموجودين فوقه.

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع إلى قوة صحيحة ما.[1][2][3] ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .


نظرية ذات الحدين
Binomial expansion visualisation.svg
 

النوع مبرهنة  تعديل قيمة خاصية حالة من (P31) في ويكي بيانات
الصيغة   تعديل قيمة خاصية تعريف الصيغة (P2534) في ويكي بيانات
سميت بأسم ذو اسمين،  وإسحاق نيوتن  تعديل قيمة خاصية سمي باسم (P138) في ويكي بيانات

التاريخ والترميز[عدل]

عالم الرياضيات أندرياس فون ايتينغ هاوسن هو أول من اقترح الرمز . كان ذلك عام 1826.

الصيغة[عدل]

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،

حيث الأعداد (و التي تكتب أحيانا ) هي المعاملات الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

مثال :

البرهان[عدل]

لتكن y، x عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.

لنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية[عدل]

صحة العنصر التالي[عدل]

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1، سنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الأول :

بتوزيعية على  :

بالتفكيك إلى جداء :

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

و هو ما ينهي التبيين الافتراضي.

مراجع[عدل]

  1. ^ Kline، Morris (1972). History of mathematical thought. Oxford University Press. صفحة 273. 
  2. ^ Biggs، N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  3. ^ Cover، Thomas M.؛ Thomas، Joy A. (2001-01-01). Data Compression (باللغة الإنجليزية). John Wiley & Sons, Inc. صفحة 320. ISBN 9780471200611. doi:10.1002/0471200611.ch5.