يفتقر محتوى هذه المقالة إلى مصادر موثوقة

صيغة دي موافر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة التعامل مع هذه المسألة من أجل إزالة هذا القالب.يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يونيو 2019)
منح أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.

في الرياضيات، صيغة دي موافر (بالإنجليزية: De Moivre's formula)‏، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي[عدل]

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي:

وبدراسة الحالة n = k + 1:

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.

إذا كانت n = 0 تظل الصيغة صحيحة، ومن المعروف أن .

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي:

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.

استخدامات صيغة دي موافر[عدل]

تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.

على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:

.

لدينا:

.

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

.

حدوديات تشيبيشيف[عدل]

صيغة دي موافر تعطي:

.

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:

حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.

.

مراجع[عدل]

قاموس رياضيات عربى -انجليزى-فرنسى-الجزء الثانى- اهداء الاستاذ إبراهيم الاحمدى (بتصرف)

وصلات خارجية[عدل]