صيغة كايلي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
قائمة كل الأشجار على 2،3،4 مميزة الرؤوس: 2^{2-2}=1 شجرة واحدة برأسين, 3^{3-2}=3 أشجار بـ 3 رؤوس و4^{4-2}=16 أشجار بـ 4 رؤوس.

في الرياضيات، صيغة كايلي هي نتيجة في نظرية المخططات سميت نسبة لأرثور كايلي. تنص على أنه لكل عدد صحيح موجب n, عدد الأشجار ذوو n رؤوس هو n^{n-2}.

الصيغة تعد بصورة مكافئة عدد الأشجار المغطية في رسم بياني كامل مع رؤوس مميزة.

برهان[عدل]

العديد من البراهين صيغة كايلي الجديرة بالملاحظة معروفة.

واحد من البراهين، تجد دالة تقابلية بين عدد الأشجار بـ n رؤوس مع عدد الكلمات بطول n - 2 وn أحرف ممكنة.

تاريخ[عدل]

تم اكتشاف الصيغة في البداية على يد كارل برتشاردت في 1860، وبرهنت بواسطة المحدد. في مذكرة قصيرة من سنة 1889، كايلي وسع الصيغة في اتجاهات عدة، مع أخذ درجات الرؤوس بالحسبان. بالرغم من أنه أشار إلى مقال برتشاردت الأصلي، إلا أن الاسم "صيغة كايلي" أصبح القياسي في هذا المجال.

مراجع[عدل]

  • Aigner، Martin؛ Ziegler، Günter M. (1998). Proofs from THE BOOK. Springer-Verlag. صفحات 141–146. .
  • Borchardt, C.W. (1860). "Über eine Interpolationsformel für eine Art Symmetrischer Functionen und über Deren Anwendung". Math. Abh. der Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 1–20. 
  • A. Cayley (1889). "A theorem on trees". Quart. J. Math 23: 376–378. 
  • Shukla، Alok (2009)، A short proof of Cayley's Tree Formula  Unknown parameter |eprint= ignored (help); Unknown parameter |class= ignored (help).