صيغ فييت (جذور)

  ميّز عن صيغة فييت (جداء).

في الرياضيات، وتحديداً في الجبر يطلق اسم صيغ فييت (الإنجليزية: Vieta's formulas) على الصيغ التي تربط جذور كثير حدود ما بمعاملاته.

سميت هاته الصيغ هكذا نسبة إلى فرانسوا فييت.

الصيغة الرياضية

لتكن متعددة الحدود التالية

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

من الدرجة $n\geq 1$ بمعاملات عقدية (حيث المعاملات $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ هن أعداد عقدية و$a_{n}$ لا يساوي الصفر). حسب المبرهنة الأساسية في الجبر فإن لكثير الحدود هذا n جذرا (ليس بالضرورة أن تكون متمايزة)$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$. تنص صيغ فييت على ما يلي:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

قد تكتب صيغ فييت، وبشكل مكافئ لما سبق، كما يلي:

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},$

مثال

من أجل المعادلة $P(X)=aX^{2}+bX+c$ والتي هي معادلة من الدرجة الثانية فتعطي صيغ فييتة على أن جذور هذه المعادلة تحقق ما يلي:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

الجذور $r_{1},r_{2},r_{3}$ لمعادلة تكعيبية $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ تحقق المعادلات الثلاث التالية :

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

البرهان

يمكن البرهان على صيغ فييت بنشر المعادلة التالية:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})$

التاريخ

يعود اكتشاف هذه الصيغ، كما يدل على ذلك اسمها، إلى عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت الذي عاش في القرن السادس عشر متوفيا في فجر القرن السابع عشر (عام 1604). لم يعمم فييت صيغه على الحالات حيث تكون الجذور سالبة. ويعتقد أن عالم رياضيات آخر، فرنسي أيضا، هو أول من فهم وعمم هذه الصيغ على جميع الحالات. يسمى هذا العالم ألبير جيرار.

انظر أيضا

• متطابقات نيوتن
• متعددة حدود تماثلية
• خواص جذور متعددة حدود
• مبرهنة غاوس–لوكاس
• مبرهنة الجذر النسبي