العدد التوافقي
H
n
{\displaystyle H_{n}}
n
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }
γ
+
ln
(
x
)
{\displaystyle \gamma +\ln(x)}
γ
{\displaystyle \gamma }
ثابت أويلر-ماسكيروني . في الرياضيات ، العدد التوافقي النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية :
H
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
n = 1
1
,
3
2
,
11
6
,
25
12
,
137
60
,
…
{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }
التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .
تمت دراسة الأعداد التوافقية منذ العصور القديمة وهي مهمة في مختلف فروع نظرية الأعداد . يطلق عليها أحيانًا اسم متسلسلة توافقية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة ريمان زيتا ، وتظهر في تعبيرات دوال خاصة مختلفة.
يمكن إعطاء قيمة تقريبية للعدد التوافقي النوني من خلال دالة اللوغاريتم الطبيعي :143 وبالتالي فإن المتسلسلة التوافقية المصاحبة تنمو بلا حدود ، وإن كان ذلك ببطء. في عام 1737 ، استخدم ليونارد أويلر تباعد المتسلسلة التوافقية لتقديم برهان جديد على لانهاية الأعداد الأولية . امتد عمله إلى المستوى المعقد بواسطة برنارد ريمان في عام 1859 ، مما أدى مباشرة إلى فرضية ريمان الشهيرة حول توزيع الأعداد الأولية .
مسلمة برتراند يمكن إستنتاج أن ، باستثناء الحالة n = 1[ 1]
[ عدل ] من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة
H
n
+
1
=
H
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}}
H
n
=
1
n
!
[
n
+
1
2
]
{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]}
f
n
(
x
)
=
x
n
n
!
(
log
x
−
H
n
)
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})}
f
n
′
(
x
)
=
f
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x)}
f
1
(
x
)
=
x
(
log
x
−
1
)
{\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}
الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة
∑
k
=
1
n
H
k
=
(
n
+
1
)
H
n
−
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}
∑
k
=
1
n
H
k
2
=
(
n
+
1
)
H
n
2
−
(
2
n
+
1
)
H
n
+
2
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n}
هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π [ 2]
∑
n
=
1
∞
H
n
n
⋅
2
n
=
1
12
π
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}
∑
n
=
1
∞
H
n
2
(
n
+
1
)
2
=
11
360
π
4
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}
∑
n
=
1
∞
H
n
2
n
2
=
17
360
π
4
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}
∑
n
=
1
∞
H
n
n
3
=
1
72
π
4
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}
هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر [ 3]
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}
المطابقة الجبرية البسيطة
1
−
x
n
1
−
x
=
1
+
x
+
⋯
+
x
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}
x = 1 − u H n
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
=
∫
0
1
1
−
(
1
−
u
)
n
u
d
u
=
∫
0
1
[
−
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
u
k
−
1
]
d
u
=
−
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
∫
0
1
u
k
−
1
d
u
=
−
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
1
k
(
n
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}
^ Graham، Ronald L.؛ Knuth، Donald E.؛ Patashnik، Oren (1994). Concrete Mathematics . Addison-Wesley. ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number."
^ Sandifer، C. Edward (2007)، How Euler Did It ISBN :9780883855638
![{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e263010fa716d808ee8aca9f6c2ad2f06c0387d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2de80a09a6272bfcfbb44c935844f6a7fe4cde)
