عدد مثلثي تربيعي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
عدد مثلثي تربيعي 36 تم تمثيله كعدد مثلثي وكعدد مربع.

العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل. هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (متسلسلة A001110 في OEIS).

الصيغ الصريحة[عدل]

بكتابة Nk للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة sk وtk لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة

عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي على أنه . من التعريف ومن الصيغة التربيعية لذلك، يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط تربيعيا. بناء عليه، يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد و بحيث . هذه صورة من معادلة بيل مع . جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس . إذا كان يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن و. بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: و بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة [1][2]:12–13

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة

الصيغ الصريحة المقابلة لـ sk وtk هي [2]:13

و

معادلة بيل[عدل]

تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.[3] كل عدد مثلثي هو بالصورة t(t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t، s بحيث

بتحليل جبري بسيط تصبح

ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s، نحصل على معادلة ديفونتية

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs Pk بصورة [4]

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

علاقات المعاودة أو التكرار[عدل]

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا[5]:(12)

لدينا[1][2]:13

بيانات عددية[عدل]

مع كبر قيمة ، تصبح النسبة قريبة من ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من . الجدول التالي يعطي قيما من between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى .


طالع أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

المصادر[عدل]

  1. ^ أ ب Dickson، Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. صفحة 16. ISBN 978-0-8218-1935-7. 
  2. ^ أ ب ت Euler، Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)". Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg (باللغة Latin). 4: 3–17. اطلع عليه بتاريخ 11 مايو 2009. According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778. 
  3. ^ Barbeau، Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. صفحات 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2. اطلع عليه بتاريخ 10 مايو 2009. 
  4. ^ Hardy، G. H.؛ Wright، E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (الطبعة 5th). Oxford University Press. صفحة 210. ISBN 0-19-853171-0. Theorem 244 
  5. ^ إيريك ويستاين، Square Triangular Number، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).