عزم القصور الذاتي

الحذافات تملك عزم قصور ذاتي كبير للتخفيف من الحركة الميكانيكية. هذا المثال في المتحف الروسي

يقوم متدرب الغوص بثني ركبتيه لكي يقلل من عزم القصور الذاتي اللازم لتدوير جسمه أثناء القفز

شكل يوضح عزم العطالة لعدد من الأجسام

عزم القصور الذاتية (بالإنجليزية: Moment of inertia)‏ أو عزم العطالة، يحسب العزم اللازم للتسارع الزاوي حول محور الدوران للجسم الصلب. يعتمد هذا على توزيع الكتلة للجسم وعلى المحور المختار، مع وجود عزوم أكبر يتطلب المزيد من العزم لتغيير دوران الجسم. هو عبارة عن قيمة مضافة،عزم القصور الذاتي لنظام مركب هو مجموع عزوم القصور الذاتي لأنظمته الفرعية المكونة له(جميعها حول نفس المحور). إحدى تعريفاته هي العزم الثاني للكتلة بالنسبة للمسافة من المحور (ص) $I=\int _{Q}r^{2}\mathrm {d} m$

بالنسبة للأجسام المقيدة بالدوران في المستوى،فيكفي أن تعتبر عزم قصورها الذاتي حول محور عمودي على المستوى. بالنسبة للأجسام الحرة الدوران حول ثلاثة أبعاد فإن عزومه يمكن وصفها عن طريق مصفوفة متماثلة 3X3.

مقدمة

يمكن وصف سهولة تغيير سرعة الدوران لجسم من خلال عزم القصور الذاتي. لو فرضنا قرصين متساويين في الكتلة وأحدهما ذو قطر أو اسطوانة اوسع من الآخر سنلاحظ أن القرص ذو القطر الأوسع يحتاج لبذل جهد أكبر لتدويره لسرعة دورانية متساوية والعكس صحيح حيث يظل القرص ذو القطر الأكبر محافظا على دورانه لفترة أطول من الآخر.

معادلات القصور الذاتي

تعطى علاقة القصور الذاتي I لكتلة صغيرة dm تدور حول محور ارتكاز وتبعد عنه بنصف قطر r كمايلي:

$I=\int r^{2}\,dm\,\!$

وبتفصيل أكثر يمكن استخدام العلاقة المكافئة

$I\triangleq mr^{2}\,\!$

و بفرض الكتلة الإجمالية الدوارة حول المحور مكونة من مجموعة 'N من الكتل النقطية m_i على مسافة r_i من محور الدوران, يصبح اجمالي عزم القصور الذاتي هو

$I\triangleq \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!$

بالنسبة لجسم جاسئ كتلته دالة في الكثافة, ρ(r), يمكن حساب عزم القصور الذاتي بالتكامل:

$I\triangleq \iiint _{V}\|\mathbf {r} \|^{2}\,\rho (\mathbf {r} )\,dV\!$

حيث

V الحجم الذي يشغره الجسم.

ρ كثافة الجسم

r = (r,θ,φ), (x,y,z), or (r,θ,z) هي إحداثيات نقطة داخل الجسم.

رسم يبين حساب عزم العطالة لقرص.

اعتمادا على التحليل البعدي يتوجب ان يكون عزم القصور لجسم لانقطي ان يتخذ الشكل:

$I=k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!$

حيث

M كتلة الجسم

R نصف القطر من مركز الكتلة إلى المحور

k ثابت ليس له بعد يدعى بـ ثابت القصور ويتغير مع شكل الجسم.

هنا بعض قيم هذا الثابت للاشكال الشهيرة:

• k = 1, لحلقة رقيقة حول محورها,
• k = 2/5, كرة مصمتة حول محورها,
• k = 1/2, اسطوانة مصمتة حول محورها.

تطبيقات

أحد أعجب تطبيقات عزم القصور الذاتي هي تميز خصائص بعض الاجسام عن طريق تدويرها فمثلاً يمكن التمييز بين بيضتين إحداهما مسلوقة والأخرى سليمة (لم تسلق بعد) وذلك بدون فك القشرة. عند تدوير كلا البيضتين سنلاحظ أن البيضة المسلوقة تدور لوقت أطول! التطبيقات الأخرى تشمل زيادة أنصاف أقطار العجلات لضمان عزم قصور أعلى. كذلك يقوم المتدربون في حركات القفز والدوران بدراسة تفاصيل الجسم من هذه الناحية لضمان أفضل أداء للحركات. كما أن القصور الذاتي يلعب دوراً أساسياً في حياتنا اليومية والحفاظ على الدوران المغزلي للأرض على الرغم من تأثير المد والجزر مع القمر على هذا الدوران.

انظر أيضا

• قائمة عزم القصور الذاتي
• زخم
• تردد زاوي
• تسارع زاوي
• عزم زاوي
• بدارية
• عزم الدوران