قائمة الدوال الرياضية

في الرياضيات، تكتسب عدد من الدوال أو مجموعات من الدوال أهمية خاصة لتأخذ اسما خاصا بها.

أصناف الدوال

يمكن تصنيف الدوال الرياضية حسب الخواص التي تمتلكها كل دالة رياضية :

• دالة جمعية : قيمة الناتج تساوي مجموع القيم المقابلة للعوامل.
• دالة تحليلية : يمكن تعريفه محليا كمتسلسلة قوى متقاربة
• دالة حسابية : دالة تتوجه من مجموعة الأعداد الطبيعية إلى مجموعة العداد العقدية.
• دالة تقابلية: وهي دالة شاملة ومتباينة بنفس الوقت.
• دالة تركيب : من أجل دالتين f و g، تقوم دالة التركيب بإسقاط x إلى ((f(g(x.
• دالة مستمرة : الصورة البدئية لمجموعة مفتوحة مفتوحة أيضا.
• دالة قابلة للتفاضل : تملك مشتقا.
• دالة هولومورفية : دالة تأخذ قيما عقدية لمتغير عقدي وتكون هذه الدالة قابلة للمفاضلة عقديا عند كل نقطة من مستقرها (نطاقها).
• دالة كاملة : دالة هولومورفية نطاقها هو كامل مجموعة الأعداد العقدية.
• دوال زوجية : الدالة (f(x) = f(−x. متناظرة بالنسبة لمحور الأراتيب.
• دالة متباينة : المتغيرات المتباينة (المختلفة) لها مقابلات مختلفة حسب هذه الدالة. تدعى أيضا دالة واحد لواحد.
• دالة عكسية : دالة تقوم بعكس الدالة الأصلية بحيث تقابل نتيجة التابع الأصلي مع القيمة الأساسية.
• دالة رتيبة : يحافظ على الترتيب أو تعكسه.
• دالة فردية : الدالة (f(−x) = − f(x. متناظرة بالنسبة لأصل المعلم.
• دالة شمولية: كل عنصر من المجال المقابل لديه صورة عكسية، وتسمى أيضا دالة غامرة.
• دالة تحت جمعية (Subadditive Function): قيمة المجموع أقل من أو تساوي مجموع قيم الأعداد المضافة.
• دالة فوق جمعية (Superadditive Function): قيمة المجموع أكبر من أو تساوي مجموع قيم الأعداد المضافة.

دوال ابتدائية

دوال جبرية

الدوال الجبرية هي دوال من الممكن التعبير عنها بحل لمعادلة متعددة المتحولات فيها ثوابت عددية.

• متعدد الحدود: من الممكن الحصول عليه بالجمع والضرب فقط.
  • دالة ثابتة : هي دالة لا تتغير قيمتها مهما كانت قيمة وسيط الدخل.
  • دالة خطية : هو متعدد حدود من الدرجة الأولى، يرسم على شكل خط مستقيم، ويكتب على الشكل: y=ax+b.
  • دالة تربيعية : متعدد حدود من الدرجة الثانية، مخططه على شكل قطع مكافئ.
  • دالة تكعيبية : متعدد حدود من الدرجة الثالثة.
  • دالة رباعية : متعدد حدود من الدرجة الرابعة.
  • دالة خماسية : متعدد حدود من الدرجة الخامسة.
• دالة كسرية : هي أي دالة على شكل كسر متعددي حدود.
  • دالة تناظرية
• دالة القوة : أي دالة تكون القوة فيها على شكل كسر.
  • دالة مربع عدد، دالة مكعب عدد، ... وغيرها.
• دالة الجذر.
  • دالة الجذر التربيعي، دالة الجذر التكعيبي، ...
• دالة المقلوب.

دوال غير جبرية

دوال متسامية أو دوال غير جبرية هي الدوال التي لا يمكن تمثيلها بعدد محدود من كثيرات الحدود.

• دوال أسية: دالة الأس الطبيعي، دالة أسية ثنائية، ... وغيرها.
• دوال القطع الزائد: جيب زائدي، جيب تمام زائدي، ظل زائدي، ... وغيرها.
• دوال زائدية عكسية
• دوال لوغاريتمية: لوغاريتم طبيعي، لوغاريتم ثنائي، لوغاريتم عشري، ... وغيرها.
• الدوال الدورية
  • دوال مثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام، القاطع، القاطع التمام، السهم، سهم التمام، القاطع الخارجي، قاطع التمام الخارجي.
  • موجة سن المنشار
  • موجة مربعية
  • موجة مثلثية
• دوال مثلثية عكسية

دوال خاصة

الدوال الخاصة هي مجموعة من الدوال التحليلية غير الابتدائية، والتي ظهرت في القرن التاسع عشر كحل لمعادلات في الفيزياء الرياضية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية والرابعة.

دوال خاصة بسيطة

• دالة المؤشر Indicator function،
• دالة دُرجية،
  • دالة الجزء الصحيح،
  • دالة هيفيسايد الدرجية،
  • دالة الإشارة،
• دالة القيمة المطلقة.

دوال حسابية

طالع أيضًا: دالة حسابية

• دالة سيغما،
• مؤشر أويلر،
• الدالة المعدة للأعداد الأولية،
• دالة التجزئة Partition function،
• دالة موبيوس μ.

المشتقات العكسية للدوال الابتدائية

• دالة التكامل اللوغاريتمي، تكاملٌ على مقلوب دالة اللوغاريتم.
• دالة التكامل الأسي،
• دالة التكامل المثلثي،
• دالة الخطأ،
  • تكامل فرينل،
  • دالة داوسون.

دوال غاما ودوال مرتبطة بها

• دالة غاما : هي امتداد لدالة العاملي إلى الأعداد الحقيقية وغير الحقيقية،
• دالة-ج بارنيس Barnes G-function،
• دالة بيتا،
• دالة ديغاما ودالة بوليغاما،
• دالة بيتا غير الكاملة،
• دالة غاما غير الكاملة،
• دالة الكاف،
• دالة غاما متعددة المتغيرات،
• توزيع ستيودنت الاحتمالي.

الدوال الاهليلجية والدوال المرتبطة بها

• تكامل إهليلجي: وتتضمن،
  • شكل كارلسون المتناظر Carlson symmetric form،
  • شكل لوجندر،
• دالة إهليلجية : هي دالة عكسية للتكامل الإهليلجي يستخدم لتمثيل ظواهر دورية مضاعفة. الأنواع الخاصة هي: دوال فايرشتراس الإهليلجية ودوال جاكوبي الإهليلجية.
• دالة ثيتا
• المرتبطة ارتباطا وثيقا هي الأشكال النمطية، والتي تشمل:
  • دالة-جيه J-invariant
  • دالة إيتا لديديكايند.

دوال بيسل والدوال المرتبطة بها

• دوال بيسل Bessel functions: دالة معرفة بواسطة معادلة تفاضلية، مفيدة في علم الفلك، والكهرو مغناطيسية، والميكانيكا.
• دالة أيري نسبة إلى العالم البريطاني جورج بيدل أيري.
• دالة بيسل-كليفورد Bessel–Clifford function
• دوال كلفن
• دالة لوجندر Legendre function
• دالة سكورر Scorer's function
• دالة سينك Sinc function
• متعددات الحدود لهيرمت
• متعددات الحدود للاغار Laguerre polynomials
• متعددات الحدود لتشيبيشيف Chebyshev polynomials

دالة زيتا لريمان والدوال المرتبطة بها

• دالة زيتا لريمان: هي حالة خاصة من متسلسلة دركليه
• دالة كسي لريمان
• دالة إيتا لدركليه
• دالة بيتا لدركليه
• دالة دركليه اللامية
• دالة زيتا لهورفيتز
• دالة خي للوجندر Legendre chi function
• دالة زيتا لليرخ Lerch zeta function
• بولي لوغاريتم Polylogarithm، والدوال المرتبطة:
  • بولي لوغاريتم غير التام Incomplete polylogarithm
  • دالة كلوسين Clausen function
  • تكامل فيرمي-ديراك التام Complete Fermi–Dirac integral
  • تكامل فيرمي-ديراك غير التام Incomplete Fermi–Dirac integral
  • دالة كومر Kummer's function
  • دالة سبينس Spence's function
• دالة رييس Riesz function

الدوال فوق الهندسية والدوال المرتبطة بها

• دوال فوق هندسية Hypergeometric functions، عائلة متعددة الاستعمالات لمتسلسلة القوى.
• دالة فوق هندسية مسايرة Confluent hypergeometric function
• دالة ليجندر المرافقة Associated Legendre function
• دالة جي لماير Meijer G-Function

دوال أخرى

• دالة لمبدا Lambda function
• دالة لامي.
• دالة ميتاغ ليفر Mittag-Leffler function
• دالة أسطوانة قطع مكافئ Parabolic cylinder function
• دالة ساينكروتون Synchrotron function

دوال معرفة في إطار نظرية الأعداد

• دالة القاسم،
• مؤشر أويلر،
• الدالة المعدة للأعداد الأولية،
• دالة التقسيم

دوال متنوعة

• دالة أكرمان،
• دالة دلتا لديراك،
• دالة غير مستمرة في أي مكان،
• دالة دلتا كرونكر،
• دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي،
• دالة فايرشتراس: مثال للدالة المستمرة التي لا يمكن اشتقاقها في أي مكان.