قاعدة لايبنتز للتكامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل  سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

حيث أن   مشتقته  بالشكل التالي:

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق.[1] لاحظ أنه إذا كان كلا من و ثوابت، بمعنى أنّ و ، فسنحصل على التعبير التّالي:

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن[عدل]

الشكل 1: حقل متجه F(r, t) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج.

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:[2]

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,
Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،
dA هو متجه عنصر من سطح Σ،
ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،
v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،
∇⋅ هو متجه الاختلاف،
× هو متجه عبر المنتج،
إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا[عدل]

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

انظر أيضًا[عدل]

المراجع[عدل]

  1. ^ Protter, Murray H.؛ Morrey, Charles B., Jr. (1985)، "Differentiation under the Integral Sign"، Intermediate Calculus (ط. Second)، Springer، ص. 421–426، ISBN 0-387-96058-9.
  2. ^ Flanders, Harly (يونيو–يوليو 1973)، "Differentiation under the integral sign" (PDF)، الرياضيات الأمريكية الشهرية، 80 (6): 615–627، doi:10.2307/2319163، JSTOR 2319163، مؤرشف من الأصل (PDF) في 20 سبتمبر 2018.

مزيد من القراءة[عدل]

  • Frederick S. Woods (1934)، Advanced Calculus (ط. New)، Ginn and Company، ASIN B0006AMNBI.
  • Frederick S. Woods (1926)، Advanced Calculus (ط. 1st)، Ginn and Company، ASIN B00085L67S.
  • David V. Widder (يوليو 1990)، Advanced Calculus (ط. New)، Dover Publications Inc.، ISBN 978-0-486-66103-2.