قانون الاحتمالات الكلية

توضيح بصري لنظرية الاحتمالية الكلية

في نظرية الاحتمالات ، قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

القانون

قانون الاحتمال الكلي هو نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا $\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}$ هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث $B_{n}$ قابل للقياس ، إذن لأي حدث $A$ من نفس مجال الاحتمال :

$P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})$

أو ، بدلاً من ذلك ،

$P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),$

حيث ، لأي $n$ لأي منهم $P(B_{n})=0$ تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن $P(A\mid B_{n})$ محدود.

يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ، $P(A)$ ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛ يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية.

يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

$P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})$

أخذ $B_{n}$ على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض $C$ هو حدث مستقل عن أي من $B_{n}$ :

$P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n})P(B_{n})$

حالة مستمرة

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ يكون مجال احتمالي . افترض $X$ هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع $F_{X}$ ، و $A$ حدث يوم $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ . ثم ينص قانون الاحتمال الكلي

$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).$

إذا $X$ يعترف بدالة الكثافة $f_{X}$ ، ثم النتيجة

$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.$

علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث $A=\{Y\in B\}$ ، حيث $B$ هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج

$P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.$

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية . تعمل مصابيح Factory X لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع X يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:

${\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}$

حيث أن:

• $P(B_{X})={6 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
• $P(B_{Y})={4 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
• $P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة X لأكثر من 5000 ساعة ؛
• $P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة Y لأكثر من 5000 ساعة.

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

أنظر أيضا

• قانون القيم المتوقعة الكلية