قواعد التفاضل

فيما يلي سرد بمشتقات بعضٍ من الدوال الرياضية. على اعتبار $f$و$g$ دالتين قابلتين للاشتقاق، من أعداد حقيقية، و$c$عدد حقيقي ثابت. وهذه الصيغ تكفي لاشتقاق أي دالة أساسية.

قواعد التفاضل العامة

التفاضل خطي

المقالة الرئيسة: خطية التفاضل

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

قاعدتا الضرب والقسمة

المقالة الرئيسة: قاعدة الضرب

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

قاعدة السلسلة (أو التسلسل)

المقالة الرئيسة: قاعدة السلسلة

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$

${\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),$

${\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.$

$[{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.$

اشتقاق الدوال المضروبة والمقسومة لوغاريتميًّا

في حالة الضرب

إن كانت $y=fg$

فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:

$\ln(y)=\ln(fg)$

من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$، إذًا بتطبيق هذه الخاصية تصير الصيغة:

$\ln(y)=\ln(f)+\ln(g)$

باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:

${\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}$

بضرب الجانبين في $y$:

$y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)$

ثم يعوض بقيمة $y$ التي هي الدالة الأساسية $y=fg$:

$y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)$

بالضرب واختصار الكسور:

$y'=f'g+g'f$

في حالة القسمة

ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما $\ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)$، ويمكن استخدام الطريقة السابقة لاشتقاق الدوال المكونة من مضروب و/أو مقسوم دالتين فأكثر.

قاعدة المقلوب

$\left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0$

مشتقة الدالة المعكوسة

المقالة الرئيسة: دوال عكسية وتفاضلها

إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية، فإن :

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.

قاعدة الأس العامة

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0$

مشتقات الدوال البسيطة

$c'=0\,$

$x'=1\,$

$(cx)'=c\,$

$|x|'={x \over |x|}={|x| \over x},\qquad x\neq 0$

$(x^{c})'=cx^{c-1}$ حيث كلا من $x^{c}\,$ و $cx^{c-1}\,$ هي دوال معرفة

$\left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

$\left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}$

$\left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

مشتقات الدوال الأسية

$\left(c^{x}\right)'={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

المعادلة السابقة صحيحة لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$

$\left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1$

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

$\left(\ln x\right)'={1 \over x},\qquad x\neq 0$

$\left(\ln |x|\right)'={1 \over x}$

$\left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)$

مشتقات الدوال المثلثية

المقالة الرئيسة: تفاضل دوال مثلثية

$(\sin x)'=\cos x\,$	$(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$	$(\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,$	$(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\sec x)'=\sec x\tan x\,$	$(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\csc x)'=-\csc x\cot x\,$	$(\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,$	$(\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,$

مشتقات الدوال الزائدية

$(\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$	$(\operatorname {arcosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x$	$(\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$

مشتقات الدوال الخاصة

دالة غاما $(\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt$ $(\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)$

حيث $\psi (x)$ هي دالة بوليغاما.

دالة زيتا لريمان $(\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!$ $(\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!$

انظر أيضًا

• مشتق (رياضيات).
• تفاضل.
• نهاية دالة.
• دالة رياضية.
• قائمة الدوال الرياضية.
• دوال مثلثية.
• حساب المصفوفات.