كرة

هذه المقالة عن الكرة شكلا هندسيا. لتصفح عناوين مشابهة، انظر كرة (توضيح).

كرة فراغية لدوائر تتلاقى في أقطاب الكرة.

الكرة أو الفلكة (بالإنجليزية: Sphere)‏ هي سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها. في الهندسة الإقليدية ثلاثية الأبعاد تعرف الكرة على أنها المحل الهندسي لمجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه وليكن r من نقطة معينة في الفضاء حيث r عدد موجب (ليس بالضرورة صحيحا دائما) ويسمى نصف القطر. تسمى النقطة المعينة بمركز الكرة. كرة الوحدة هي الكرة التي يكون نصف قطرها يساوي 1.

المساحة

المساحة السطحية لكرة ذات نصف قطر r هي:

$A=4\pi r^{2}\,$

الحجم

اسطوانة مقيدة بكُرة داخلها

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حجم كرة ذات نصف قطر r هو

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

أرخميدس هو أول من استنتج هذه الصيغة حيث وجد أن حجم كرة يساوي ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة.

معادلات

في الهندسة التحليلية، كرة بمركز (x₀, y₀, z₀) ونصف قطر r تعرف على أنها جميع النقاط (x, y, z) التي تحقق المعادلة التالية:

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,$

هذه النقاط يمكن تمثيلها من خلال المعادلات القطبية التالية:

$\,x=x_{0}+r\cos \theta \;\sin \varphi$

$\,y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad \,$ حيث $\,\qquad 0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ }}\,$ و $\,\qquad {\mbox{ }}0\leq \varphi \leq \pi \,$

$\,z=z_{0}+r\cos \varphi \,$

أي كرة ذات أي قيمة لنصف قطرها ومركزها في نقطة الأصل تأخذ المعادلة التفاضلية التالية:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

تبين هذه المعادلة أن متجه السرعة ومتجه الموقع لأي نقطة تتحرك على سطح الكرة دائما ما يكونا متعامدين.

التعميم للأبعاد الأخرى - طوبولوجيا

• الكرة-0 هي زوج من النقاط تحدد قطعة مستقيمة طولها 2r.
• الكرة-1، هي دائرة نصف قطرها r.
• الكرة-2 هي الكرة الاعتيادية في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
• الكرة-3 هي كرة في الفضاء الرباعي الأبعاد.

انظر أيضاً

• كرة ألكسندر القرنية
• مفارقة باناخ تارسكي
• مكعب
• انحناء
• كرة ديسون
• فضاء متري