a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
⋱
+
1
a
n
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}
كسر مستمر منته، حيث n عدد صحيح موجب وa0 عدد صحيح، و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلى i=1,…, n.
في الرياضيات ، الكسر المستمر (بالإنجليزية : Continued fraction ) هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
1
⋱
{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}
حيث a 0 عدد صحيح والاعداد (a i i ≠ 0 هي أعداد موجبة . يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما .[1] [2] [3]
تحفيز [ عدل ] الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية . الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:
r
=
∑
i
=
0
∞
a
i
10
−
i
,
{\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i},}
حيث a 0 عدد صحيح، وكل a i باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a i
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.
بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].
لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي .
تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي .
تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل. حساب تمثيل الكسور المستمرة [ عدل ] ليكن العدد الحقيقي r , وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r .
وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i ; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f . من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
لحساب الكسر المستمر للعدد r ، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r . إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.
أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245
3
{\displaystyle 3\,}
3.245
(
3
49
200
)
−
3
{\displaystyle 3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,}
=
0.245
(
49
200
)
{\displaystyle =0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,}
1
/
0.245
(
200
49
)
{\displaystyle 1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,}
=
4.082
(
4
4
49
)
{\displaystyle =4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,}
4
{\displaystyle 4\,}
4.082
(
4
4
49
)
−
4
{\displaystyle 4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,}
=
0.082
(
4
49
)
{\displaystyle =0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,}
1
/
0.082
(
49
4
)
{\displaystyle 1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,}
=
12.250
(
12
1
4
)
{\displaystyle =12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,}
12
{\displaystyle 12\,}
12.250
(
12
1
4
)
−
12
{\displaystyle 12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,}
=
0.250
(
1
4
)
{\displaystyle =0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,}
1
/
0.250
(
4
1
)
{\displaystyle 1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,}
=
4.000
{\displaystyle =4.000\,}
4
{\displaystyle 4\,}
4.000
−
4
{\displaystyle 4.000-4\,}
=
0.000
{\displaystyle =0.000\,}
توقف
الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4]
3.245
=
3
+
1
4
+
1
12
+
1
4
{\displaystyle 3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}}
صور الكسور المستمرة [ عدل ]
x
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;}
أو
x
=
a
0
+
1
∣
∣
a
1
+
1
∣
∣
a
2
+
1
∣
∣
a
3
.
{\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}.}
أو
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
{\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+{}}{1 \over a_{3}+{}}.}
وأحيانا
x
=
⟨
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
⟩
.
{\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .\;}
أو
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
]
=
lim
n
→
∞
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
]
.
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}
الكسور المستمرة المنتهية [ عدل ] هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
,
1
]
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
+
1
]
.
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;}
مثل,
2.25
=
9
/
4
=
[
2
;
3
,
1
]
=
[
2
;
4
]
,
{\displaystyle 2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;}
−
4.2
=
−
21
/
5
=
[
−
5
;
1
,
3
,
1
]
=
[
−
5
;
1
,
4
]
.
{\displaystyle -4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;}
الكسور المستمرة للمقاليب [ عدل ] مثل,
2.25
=
9
4
=
[
2
;
4
]
,
{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;}
1
2.25
=
4
9
=
[
0
;
2
,
4
]
.
{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;}
الكسور المستمرة غير المنتهية [ عدل ]
a
0
1
,
a
1
a
0
+
1
a
1
,
a
2
(
a
1
a
0
+
1
)
+
a
0
a
2
a
1
+
1
,
a
3
(
a
2
(
a
1
a
0
+
1
)
+
a
0
)
+
(
a
1
a
0
+
1
)
a
3
(
a
2
a
1
+
1
)
+
a
1
.
{\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}
وبصيغة أخرى:
h
n
=
a
n
h
n
−
1
+
h
n
−
2
,
k
n
=
a
n
k
n
−
1
+
k
n
−
2
.
{\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.}
وتكون الصيغ المتقاربة
h
n
k
n
=
a
n
h
n
−
1
+
h
n
−
2
a
n
k
n
−
1
+
k
n
−
2
.
{\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}
بعض المبرهنات المفيدة [ عدل ] إذا كان a 0 ، a 1 ، a 2 ،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب
h
n
{\displaystyle h_{n}}
k
n
{\displaystyle k_{n}}
h
n
=
a
n
h
n
−
1
+
h
n
−
2
{\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,}
h
−
1
=
1
{\displaystyle h_{-1}=1\,}
h
−
2
=
0
{\displaystyle h_{-2}=0\,}
k
n
=
a
n
k
n
−
1
+
k
n
−
2
{\displaystyle k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,}
k
−
1
=
0
{\displaystyle k_{-1}=0\,}
k
−
2
=
1
{\displaystyle k_{-2}=1\,}
نظرية 1 [ عدل ] لاي
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
x
]
=
x
h
n
−
1
+
h
n
−
2
x
k
n
−
1
+
k
n
−
2
.
{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}
نظرية 2 [ عدل ] التقاربات [a 0 ; a 1 , a 2 ,...]تعطى بالعلاقة
[
a
0
;
a
1
,
…
,
a
n
]
=
h
n
k
n
.
{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.}
نظرية 3 [ عدل ] إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو
h
n
/
k
n
{\displaystyle h_{n}/k_{n}}
k
n
h
n
−
1
−
k
n
−
1
h
n
=
(
−
1
)
n
.
{\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,}
نشر π في كسر مستمر [ عدل ]
3
1
,
22
7
,
333
106
,
355
113
,
…
{\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots }
3
1
+
1
1
×
7
−
1
7
×
106
+
1
106
×
113
−
⋯
{\displaystyle {\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots }
الصورة المختصرة:
π
=
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
14
,
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
2
,
1
,
84
,
⋯
]
{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}
أو
π
=
3
+
1
7
+
1
15
+
1
1
+
1
292
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
3
+
1
1
+
1
14
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
2
+
⋯
{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:
π
=
3
+
1
2
6
+
3
2
6
+
5
2
6
+
7
2
6
+
9
2
6
+
11
2
6
+
13
2
6
+
15
2
6
+
⋯
=
4
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
5
2
11
+
6
2
13
+
7
2
15
+
⋯
{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}
أنماط منتظمة من الكسور المستمرة [ عدل ]
e
=
exp
(
1
)
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
1
,
12
,
…
]
.
{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.}
ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,
exp
(
1
/
n
)
=
[
1
;
n
−
1
,
1
,
1
,
3
n
−
1
,
1
,
1
,
5
n
−
1
,
1
,
1
,
7
n
−
1
,
…
]
.
{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.}
إذا كانت n ّعدد فردي
exp
(
2
/
n
)
=
[
1
;
(
n
−
1
)
/
2
,
6
n
,
(
5
n
−
1
)
/
2
,
1
,
1
,
…
,
3
k
+
(
n
−
1
)
/
2
,
(
12
k
+
6
)
n
,
3
k
+
(
5
n
−
1
)
/
2
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}
الحالة الخاصة عند n = 1:
e
2
=
exp
(
2
)
=
[
7
;
2
,
1
,
1
,
3
,
18
,
5
,
1
,
1
,
6
,
30
,
8
,
1
,
1
,
9
,
42
,
11
,
1
,
1
,
…
,
3
k
,
12
k
+
6
,
3
k
+
2
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}
الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي
tanh
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
,
3
n
,
5
n
,
7
n
,
9
n
,
11
n
,
13
n
,
15
n
,
17
n
,
19
n
,
…
]
{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}
حيث n عدد صحيح موجب; كذلك
tan
(
1
)
=
[
1
;
1
,
1
,
3
,
1
,
5
,
1
,
7
,
1
,
9
,
1
,
11
,
1
,
13
,
1
,
15
…
]
{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!}
و
tan
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
−
1
,
1
,
3
n
−
2
,
1
,
5
n
−
2
,
1
,
7
n
−
2
,
…
]
.
{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.}
إذا كانت (I n x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p /q
S
(
p
/
q
)
=
I
p
/
q
(
2
/
q
)
I
1
+
p
/
q
(
2
/
q
)
,
{\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},}
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
⋱
+
1
a
n
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}
كسر متصل منته ,حيث a 0 هو عدد صحيح ما، و n هو عدد صحيح طبيعي و a هي أعداد صحيحة طبيعية.
الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية .
على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :
(...,ai = (3,1,4,1,5,9,2 لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :
التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر. [a0 ; a1 , … an − 1, an ] = [a0 ; a1 , … an − 1 , an − 1, 1]
تاريخ الكسور المستمرة [ عدل ] انظر أيضا [ عدل ] مراجع [ عدل ] وصلات خارجية [ عدل ] 
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1acfa5373c2f4cbf04af495dd56917eb9fd64e)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40cb4f6418c7ac23403a062798b8130ed8fed1d)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397b05e5051a0cb193a9d18433e512127c240b36)
![{\displaystyle 2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dcaf5884c3b449bf8b0d30e15bb2f90309599e)
![{\displaystyle -4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef4bf4a08d84ab03600b39e0ecd17f2bffb03d5)
![{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419417efcd92adf2dedd5c596a210d368b66c350)
![{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513008c4127f7a7dea73ddccffbef4202a30ac62)
![{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b715030affd13d156d49ebc5c3a51e41f420b2)
![{\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d56b7ca97c3f403e4202a892a5e5e23f3ccae3)
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec4d08b565377b9b786c48d09bd265d62339d27)
![{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597df3d12b5700d95d7e21cd12a179ee2e594b72)
![{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7007fd2d63c8ed1bd13aa4b225cbb4c6cef1b127)
![{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd091fc1ca055bb0b301055d47386ac5d6f820e)
![{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7294bd4d9dbd7dc9da013e7ef5460b9ae2090b)
![{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df662123397b172ca5ee153a3fcd6a70dc4b22)
![{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722168f888dcb9122e71005eaedc5d1e9b95af46)
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003fe21349711c8078a386171f3b6fd205ba8dcb)
