لغارتم

رُسوم دوال لغارتمية، بثلاثة أُسُس شائعة الاستخدام. النقاط الخاصة log_b b = 1 موضحة بخطوط متقطعة، وجميع المنحنيات تتقاطع log_b 1 = 0.

في الرياضيات، لُغَارِتْم عدد ما هو الأس الذي يجب رفع قيمة ثابتة أخرى، الأساس، به لإنتاج ذلك العدد. على سبيل المثال، لغارتم 1000 للأساس 10 هو 3، لأن 1000 هو 10 مرفوع للأس 3: 1000 = 10³ = 10 × 10 × 10. بشكل أعم، إذا كان x = b^y، فإن y هو لغارتم x للأساس b، ويُكتب log_b x، لذا فإن log₁₀ 1000 = 3. اللغارتم دالة وحيدة المتغير، وهذا يعني أن لغارتمَ متغيرٍ ذا الأساس b هو معكوس رفع المُتغير أسًا لذلك الأساس.

اللغارتم ذو الأساس 10 يُسمى اللغارتم العشري أو اللغارتم الشائع، ويُستخدم استخدامًا شائعًا في العلوم والهندسة. أما اللغارتم الطبيعي فيستخدم العدد e ≈ 2.718 أساسًا له؛ ويستخدم استخدامًا واسعًا في الرياضيات والفيزياء بسبب مشتقته البسيطة للغاية. أما اللغارتم الاثناني فيستخدم الأساس 2 ويستخدم استخدامًا واسعًا في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات ونظرية الموسيقى والتصوير الضوئي، وعندما يكون الأساس واضحًا من السياق أو غير ذي صلة، غالبًا ما يُحذَف، ويُكتب اللغارتم على نحو log x.

عرَّف جون نابير اللغارتمات في عام 1614 وسيلةً لتبسيط العمليات الحسابية. وسرعان ما تبنّاها الملاحون والعلماء والمهندسون والمساحون وغيرهم لإجراء تحسيبات عالية الدقة بسهولة أكبر. باستخدام جداول اللغارتمات، يمكن استبدال البحث في الجداول والجمع الأبسط بخطوات الضرب المملة المتعددة الأرقام. وهذا ممكن لأن لغارتم الجداء هو مجموع لغارتمات العوامل:

$$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$$

بشرط أن تكون b و x و y كلها موجبة و b ≠ 1. تسمح المسطرة الانزلاقية، التي تعتمد أيضًا على اللغارتمات، بإجراء حسابات سريعة دون جداول، ولكن بدقة أقل. يأتي المفهوم الحالي للغارتمات من ليونهارت أويلر، الذي ربطها بالدالة الأسية في القرن الثامن عشر، والذي أدخل أيضًا الحرف e أساسًا للغارتمات الطبيعية.

تَختزِل التدريجات اللغارتمية الكميات واسعة النطاق إلى نطاقات أصغر. على سبيل المثال، الدِّسِيبِل (dB) هو وحدة تستخدم للتعبير عن النسبة في شكل لغارتمات، غالبًا لقدرة الإشارة والسعة (والتي يعد ضغط الصوت مثالًا شائعًا عليها). في الكيمياء، الأس الهيدروجيني (pH) هو قَيْس لغارتمي لحموضة محلول مائي. اللغارتمات شائعة في الصيغ العلمية، وفي قياسات تعقيد الخوارزميات والكائنات الهندسية التي تسمى الكُسوريات. تساعد في وصف نسب ترددات المسافات الموسيقية، وتظهر في الصيغ التي تحسب الأعداد الأولية أو تقريب العَامِليّات، وتوفر معلومات لبعض النماذج في علم الطبيعة النفسية، ويمكن أن تساعد في المحاسبة الجنائية.

يمتد مفهوم اللغارتم باعتباره معكوس الرفع الأسي إلى بنًى رياضيةٍ أخرى أيضًا. ومع ذلك، في الحالات العامة، يميل اللغارتم إلى أن يكون دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، اللغارتم العقدي هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية العقدية. وبالمثل، اللغارتم المتقطع هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية في الزمر المنتهية؛ وله استخدامات في التعمية بالمفتاح العام.

دوافع

يتقاطع بيان اللغارتم ذي الأساس 2 مع محور إحداثيات x عند x = 1 ويمر عبر النقاط (2, 1) و(4, 2) و(8, 3)، مما يمثل، على سبيل المثال، log₂(8) = 3 و2³ = 8. يقترب البيان كيفيًا من محور إحداثيات y، لكنه لا يلتقي به.

الجمع والضرب والرفع الأسي ثلاث من العمليات الحسابية الرئيسة. معكوس الجمع هو الطرح، ومعكوس الضرب هو القسمة. وبالمثل، فإن اللغارتم هو العملية العكسية للرفع الأسي. يُنجز الرفع الأسي برفع عدد b، وهو الأساس، إلى قوة ما y، تُسمَّى الأس، فتنتج قيمة x؛ ويُشار إلى ذلك بالعلاقة:

$$b^{y}=x.$$

يعطي رفع 2 إلى قوة 3 القيمة 8 على سبيل المثال، ويُعبَّر عنه رياضيًا: $2^{3}=8$.

لغارتم الأساس b هو العملية العكسية التي تعطي الخرج y من الدخل x، أي $y=\log _{b}x$ تعادل $x=b^{y}$ إذا كان b عددًا حقيقيًا موجبًا.

أحد الدوافع التاريخية الرئيسة لإدخال اللغارتمات هو الصيغة:

$$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$$

التي تعتمد جداول اللغارتمات عليها لاختزال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، وساعد هذا في إنجاز الحسابات المُعقَّدة بسهولة قبل اختراع الحواسيب.

التعريف

إذا كان b عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للواحد، فإن لغارتم أي عدد حقيقي موجب x بالنسبة إلى الأساس b هو الأس الذي يجب رفع b به للحصول على x. بعبارة أخرى، لغارتم x بالنسبة للأساس b هو العدد الحقيقي الوحيد y حيث $b^{y}=x$.

يُشار إلى اللغارتم بالتعبير: log_b x، ويُلفظ: لغارتم x للأساس b، أو: لغارتم الأساس b لـ x.

ثمة تعريف مكافئ وأكثر إيجازًا وهو أن الدالة log_b هي الدالة العكسية للدالة $x\mapsto b^{x}$.

أمثلة

• log₂ 16 = 4، لأن 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
• قد تكون اللغارتمات سالبة: ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$ لأن ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}}$.
• log₁₀ 150 تساوي بالتقريب 2.176، وهو عدد يقع بين 2 و3، متناسبًا مع موقع 150 بين 10² = 100 و10³ = 1000.
• من أجل أي أساس b، log_b b = 1 وlog_b 1 = 0، لأن b¹ = b وb⁰ = 1، على الترتيب.

مطابقات لغارتمية

المقالة الرئيسة: قائمة المطابقات اللغارتمية

توجد عدة صيغ مهمة، تسمى أحيانًا المتطابقات اللغارتمية أو القوانين اللغارتمية، تربط اللغارتمات ببعضها.

الجداء، وخارج القسمة، والقوة والجذر

لغارتم جداء هو مجموع لغارتمات الأعداد المضروبة؛ ولغارتم النسبة بين عددين هو فرق اللغارتمين. لغارتم القوة رقم p لعدد ما هو p مضروبًا في لغارتم العدد نفسه؛ ولغارتم الجذر من المرتبة p هو لغارتم العدد مقسومًا على p. يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. يمكن اشتقاق كل متطابقة بعد تعويض تعريفات اللغارتم $x=b^{\,\log _{b}x}$ أو $y=b^{\,\log _{b}y}$ في الطرف الأيسر. في الصيغ التالية، 𝑥 و𝑦 عددان حقيقيان موجبان و$p$ عدد صحيح أكبر من 1.

متطابقات الجداء وخارج القسمة والقوة والجذر للغارتمات

متطابقة	صيغة	مثال
جداء	${\textstyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
خارج قسمة	${\textstyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
قوة	${\textstyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\textstyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
جذر	${\textstyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\textstyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

تغيير الأساس

يمكن حساب اللغارتم log_b x من لغارتمات x و b بالنسبة إلى أساس k كيفي باستخدام الصيغة التالية:

$$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}$$

تحسب الآلات الحاسبة العلمية النموذجية اللغارتمات للأساسين 10 و e. يمكن تحديد اللغارتمات بالنسبة لأي أساس b باستخدام أي من هذين اللغارتمين بالصيغة السابقة:

$$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}$$

يُعطى العدد x ولغارتمه y = log_b x لأساس مجهول b، فإن الأساس يُعطى بـ:

$$b=x^{\frac {1}{y}}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال رفع المعادلة المُعرِّفَة $x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}$ إلى القوة ${\tfrac {1}{y}}$.

أُسُس خاصة

بيانات متراكبة لِلُغارتم الأسس  1 / 2 و 2 و e

من بين جميع الخيارات المتاحة للأساس، توجد ثلاثة خيارات شائعة بشكل خاص. وهي b = 10، و b = e (الثابت الرياضي غير المُنطَق e ≈ 2.71828183 )، و b = 2 (اللغارتم الاثناني). في التحليل الرياضي، ينتشر استخدام اللغارتم ذي الأساس e بسبب الخواص التحليلية الموضحة أدناه. من ناحية أخرى، من السهل استخدام اللغارتمات ذات الأساس 10 (اللغارتم الشائع) في الحسابات اليدوية في نظام الأعداد العشرية:

$$\log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,$$

ومن ثمّ، فإن log₁₀ (x) يرتبط بعدد الأرقام العشرية لعدد صحيح موجب x: عدد الأرقام هو أصغر عدد صحيح أكبر تمامًا من log₁₀ (x). على سبيل المثال، log₁₀(5986) يساوي تقريبًا 3.78. العدد الصحيح الأقرب إليه هو 4، وهو عدد أرقام 5986. يستخدم كل من اللغارتم الطبيعي واللغارتم الاثناني في نظرية المعلومات، بما يتوافق مع استخدام النات أو البت وحداتٍ أساسية للمعلومات، على الترتيب. يُستخدَم اللغارتم الاثناني أيضًا في علم الحاسوب، وفيه النظام الاثناني موجود في كل مكان؛ وفي نظرية الموسيقى، حيث تنتشر نسبة حدة الصوت 2 (الجواب) بشكل واسع، ويكون عدد السنتات بين أي حدتين نسخة مُدرَّجة من اللغارتم الاثناني، أو log 2 مضروب في 1200، من نسبة الحدة (أي 100 سنت لكل نصف نغمة في السلم المُعدَّل بالتساوي المألوف)، أو ما يعادل لغارتم الأساس 21/1200؛ وفي التصوير الضوئي، تُستخدم لغارتمات الأساس 2 المعاد تدريجها لقياس قيم التعريض للضوء ومستويات الضوء وأوقات التعريض وفتحات العدسات وسرعات الأفلام بـ"وقفات".

يُستخدم الاختصار log x غالبًا عندما يمكن استنتاج الأساس المقصود بناءً على السياق أو التخصص، أو عندما يكون الأساس غير محدد أو غير مهم. تعد اللغارتمات العادية (للأساس 10)، التي استخدمت تاريخيًا في جداول اللغارتمات والمساطر الانزلاقية، أداة أساسية للقياس والحساب في العديد من مجالات العلوم والهندسة؛ وفي هذه السياقات، لا يزال log x يعني في كثير من الأحيان لغارتم الأساس عشرة. في الرياضيات، يشير log x عادةً إلى اللغارتم الطبيعي (الأساس e). في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات، يشير log غالبًا إلى اللغارتمات الاثنانية (للأساس 2). يسرد الجدول التالي التدوينات الشائعة للغارتمات هذه الاُسُس. يسرد عمود "التدوين وفق ISO" التسميات التي اقترحتها المنظمة الدولية للمَعْيَرَة.

الأساس b	الاسم لـ logb x	التدوين وفق ISO	تدوينات أخرى
2	لغارتم اثناني	lb x	ld x, log x, lg x, log2 x
e	لغارتم طبيعي	ln x	log x, loge x
10	لغارتم عشري	lg x	log x, log10 x
b	لغارتم الأساس b	logb x

التأثيل

لُغَارِتْم اسم مُعرَّب من إحدى اللغات الأوروبية وعلى الأرجح من الفرنسية logarithme التي استعيرت نهائيًا من اللاتينية الوسطى logarithmus التي تعني حرفيًا "عدد نسبي"، هذه الأخيرة مشتقة من الكلمتين اليونانيتين logos "نسبة، كلمة" وarithmos "عدد"، وهي من صياغة جون نابير سنة 1614؛ أورد مجمع اللغة العربية بدمشق هذه التهجئة العربية، وهي تتفق مع الكتابة العربية للأسماء، ورد هذا المصطلح أيضًا بتهجئات أخرى في مختلف المراجع والمعجمات مثل لوغاريتم ولُوغَارِتْم ولُوغَارِثْم. من المقابلات العربية المُقتَرَحة للمصطلح النَّسَب (الجمع: أنساب) وهو يعني في الأصل القَرَابة، واستخدمت هنا بمعنى القرابة بين الأعداد وتحديدًا الصلة بين الأساس وقوته، لكنها لم تنجح ولم تنل الإعجاب وأوصى مجمع اللغة العربية بالقاهرة بتجنبه، كما اقتُرح مصطلح الأَسِيس المشتق من الجذر «أ س س» الذي من معانيه أصل الشيء ومبتدؤه، ومن هذا الجذر اشتُق أيضًا مصطلحَا الأُسّ والأَسَاس.

نبذة تاريخية

وضع عالم الرياضيات ابن حمزة المغربي في أواخر القرن 16 حجر الأساس للغارتمات عن طريق ربط إساس أساس حدود المتوالية الهندسية بحدود تلك الحسابية من خلال نص من كتاب «تحفة الأعداد لذوي الرشد والسداد» المنشور بالتركية العثمانية:

«إن أس أساس أي حد من حدود متتالية هندسية تبدأ بالواحد الصحيح، يساوي مجموع أسي الأساس في الحدين اللذين حاصل ضربهما يساوي الحد المذكور ناقصاً واحداً»

أي بلغة الرياضيات الحالية $T_{i}.T_{j}=T_{i+j-1}$، وفيه $T_{n}$ هو حد المتوالية الهندسية.

وقد شُرِح هذا بأن ابن حمزة أورد المتواليتين «1، 2، 4، 8، 16، 32 ...» و «1، 2، 3، 4، 5، 6 ...» واعتبر حدود المتوالية الثانية هي إسَاس للأساس المساوي لـ 2 في حدود الأولى، إلا أن تلك الإساس غير متوافقة مع الأولى وعلى الأرجح هي أرقام ترتيب حدود المتوالية الهندسية، وأيضًا لم يستخدم الصفر في المتوالية الثانية، وقد أشار المؤرخ التركي عدنان أديوار أنه لو بدأ ابن حمزة المتوالية العددية بالصفر لتمكن من وصف اللغارتمات 25 عامًا قبل جون نابير.

شهد تاريخ اللغارتمات في أوروبا في القرن السابع عشر اكتشاف دالة جديدة وسعت نطاق التحليل إلى ما وراء نطاق الأساليب الجبرية. وقد كشف جون نابير طريقة اللغارتمات للعموم في عام 1614، في كتاب بعنوان وصف قانون اللغارتمات الرائع (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). استعملت تقنيات أخرى ذات نطاقات مماثلة قبل نشر نابير لعمله، مثل بُرُسْتافَيْرِسِيس أو جداول المتواليات، التي طورها يوست بورغي، والتي انتشرت انتشارًا واسعًا قرابة عام 1600.

اللغارتم الشائع لعدد ما هو دليل قوة العشرة التي تساوي هذا العدد. عندما نقول إن عددًا ما يتطلب عددًا كبيرًا من الأرقام، فإننا نشير تقريبيًا إلى اللغارتم الشائع، والذي أشار إليه أرخميدس بـ"ترتيب العدد". كانت اللغارتمات الحقيقية الأولى طرائق تجريبيةً لتحويل الضرب إلى جمع، مما يسهل التحسيب السريع. استخدمت بعض هذه الطرق جداول مستمدة من المتطابقات المثلثية. تسمى هذه الطرق بِبُرُسْتافَيْرِسِيس.

بدأ اختراع الدالة المعروفة الآن باسم اللغارتم الطبيعي محاولةً لإجراء تربيع قطع زائد قائم الذي أجراه غريغوار دو سان فنسان، وهو راهب يسوعي بلجيكي مقيم في براغ. كان أرخميدس قد كتب كتاب "تربيع القطع المكافئ" في القرن الثالث قبل الميلاد، ولكن تربيع القطع الزائد ظل بعيدًا عن متناول جميع الجهود حتى نشر سان فنسان نتائجه في عام 1647. دفعت العلاقة التي يوفرها اللغارتم بين المتوالية الهندسية في عُمدته والمتوالية الحسابية من القيم، ألفونس أنطونيو دي سارسا إلى الربط بين تربيع سان فنسان وتقليد اللغارتمات في بُرُسْتافَيْرِسِيس، مما أدى إلى وضع مصطلح "اللغارتم الزائدي"، وهو مرادف للغارتم الطبيعي. وسرعان ما حظيت الدالة الجديدة بتقدير كريستيان هويغنس وجيمس غريغوري. اعتمد غوتفريد فِلْهِلْم لايبنتس التدوين Log y في عام 1675، وفي العام التالي ربطه بالتكامل ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}}$.

قبل أن يطور أويلر مفهومه الحديث للغارتمات الطبيعية العقدية، توصل روجر كوتس إلى نتيجة مماثلة تقريبًا عندما أظهر في عام 1714 أن:

$$\log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .$$

جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية

مادة «Logarithms» في طبعة 1797 من الموسوعة البريطانية.

ساهمت اللغارتمات في تقدم العلوم بتبسيط الحسابات الصعبة قبل ظهور الآلات الانزلاقية والحاسوب، ، وخاصة علم الفلك. كانت اللغارتمات ضرورية للتقدم في مجالات المساحة والملاحة الفلكية وغيرها من المجالات. وصف بيير سيمون لابلاس اللغارتمات بأنها:

... حيلة رائعة، تقلل من عمل عدة أشهر إلى بضعة أيام، وتُضاعِف عمر الفلكي، وتجنبه الأخطاء والإحباط اللذين لا ينفصلان عن الحسابات الطويلة.

نظرًا لأن الدالة f(x) = b^x هي الدالة العكسية لـ log_b x، فقد أُطلق عليها اسم مقابل اللغارتم. في الوقت الحاضر، يُطلق على هذه الدالة اسم الدالة الأسية.

جداول اللغارتمات

جدول اللغارتمات أداة أساسية مكَّنت من الاستخدام العملي للغارتمات قبل اختراع الآلة الحاسبة. أعدّ هنري بريغز أول جدول من هذا النوع في عام 1617، مباشرة بعد اختراع نابير، ولكنه اعتمد العدد 10 أساسًا لها بدلًا من e. احتوى جدول بريغز الأول على اللغارتمات الشائعة للأعداد الصحيحة بين 1 و1000، بدقة 14 رقمًا. بعد ذلك، وُضِعت جداول تشمل قيمًا أعلى. أدرجت هذه الجداول قيم log₁₀ x لأي عدد x في نطاق معين، بدقة معينة. استخدمت اللغارتمات ذات الأساس 10 عمومًا في الحساب فشاعت، ولهذا سُمِّيت باللغارتمات الشائعة، يمكن فصل اللغارتم الشائع لـ x إلى جزء صحيح وجزء كسري اعتمادًا على حقيقة أن الأعداد التي تتباعد قيمها بمضاعفات العدد 10 لها لغارتمات تتباعد قيمها بأعداد صحيحة، يُعرفان بالمميزة والجزء العشري. لا تحتاج جداول اللغارتمات إلا إلى تضمين الجزء العشري، ويمكن تحديد المميزة بسهولة عن طريق عد الأرقام بعد الفاصلة. مميزة 10 · x هي واحد زائد مميزة x، وجزئيهما العشريان متماثلان. ومن ثم، باستخدام جدول لغارتمي ثلاثي الأرقام، يمكن تقريب لغارتم 3542 وفق ما يأتي:

$${\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}$$

يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق الاستكمال الداخلي:

$$\log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)$$

يمكن تحديد قيمة 10^x عن طريق البحث العكسي في الجدول نفسه، لأن اللغارتم دالة رتيبة.

تحسيبات

حُسِب جُداء عددين موجبين c وd وخارج قسمتهما عادةً على صورة المجموع والفرق بين لغارتماتهما. وجاء الجداء cd أو خارج القسمة c/d من البحث عن مقابل اللغارتم للمجموع أو الفرق، عبر الجدول نفسه:

$$cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}$$

و

$${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}$$

إجراء عمليات البحث عن لغارتمين لحساب العمليات الحسابية اليدوية التي تتطلب دقة ملحوظة، مثل: حساب مجموع لغارتمين، أو الفرق بينهما، والبحث عن مقابل اللغارتم، أسرع بكثير من إجراء الضرب بالطرق السابقة مثل بُرُسْتافَيْرِسِيس التي تعتمد على المتطابقات المثلثية.

تُختزل عمليات حساب القوى والجذور إلى عمليات ضرب أو قسمة وعمليات بحث عن طريق هذه المعادلة:

$$c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}$$

و

$${\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}$$

سُهِّلَت العمليات الحسابية المثلثية من خلال الجداول التي تحتوي على اللغارتمات العادية للدوال المثلثية.

المساطر الانزلاقية

المقالة الرئيسة: مسطرة حاسبة

المسطرة الانزلاقية تطبيق آخر بالغ الأهمية للغارتم وتسمى أيضا المسطرة الحاسبة، تتألف من زوجين من السلالم المقسمة لغارتميًا. اختُرع السُّلَّم اللغارتمي غير الانزلاقي، المُسمَّى سلم غونتر (بالإنجليزية: Gunter's scale)، بعد فترة وجيزة من وصف نابير للغارتم، ثم طورها وليم أوتريد لاختراع المسطرة الحاسبة، وهي زوجان من السلالم اللغارتمية المتحركة نسبيًا زوجٌ بالنسبة لآخر. توضع الأعداد على مسافات تتناسب مع الفروق بين لغارتماتها على سلمين منزلقين: أسفل وأعلى. يرقى تحريك السلم الأعلى تحريكًا مناسبًا إلى جمع اللغارتمات، كما هو موضح الرسم:

رسم تخطيطي لمسطرة انزلاقية. بدءًا من 2 على السلم الأسفل، أضيفت المسافة إلى 3 على السلم الأعلى للوصول إلى الجداء 6. تعمل المسطرة الانزلاقية لأنها مُعَلَّمَة لتتناسب المسافة 1 إلى x مع لغارتم x.

ينتج، على سبيل المثال، عن إضافة المسافة من 1 إلى 2 على السلم الأسفل إلى المسافة من 1 إلى 3 على السلم الأعلى الجداء 6، والذي يُقرأ في الجزء الأسفل. كانت المسطرة الانزلاقية أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن العشرين، لأنها تسمح، على حساب الدقة، بتحسيب أسرع بكثير من التقنيات المعتمدة على الجداول.

خواص تحليلية

تعتمد دراسة اللغارتمات على الدوال، والدالة علاقة رياضية تربط بين عناصر مجموعتين، تُسمَّى أولهما منطلق الدالة، وتكون عناصرها عمدتها، وتُسمَّى الثانية مُستقرُّها وعناصرها خرج الدالة. مثال ذلك الدالة الأسية ذات الأساس الثابت الصحيح الموجب المغاير للواحد b، والذي يكون أسها مُتغيِّراً من مجموعة الأعداد الحقيقية، صورتها f(x) = b^x وخرجها قيمة من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة.

الوجود

ليكن b عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للـ 1، تُعرَّف الدالة f(x) = b^x منطلقها $\mathbb {R}$، ومستقرها $\mathbb {R} ^{*+}$. لذلك، فإن f تقابل قيمًا من $\mathbb {R}$ مع قيمٍ من $\mathbb {R} ^{*+}$. بعبارة أخرى، من أجل كل عدد حقيقي موجب y، يوجد عدد حقيقي واحد فقط x يُحقِّق $b^{x}=y$. الدالة f مستمرة، تتزايد تمامًا (من أجل b > 1)، أو تتناقص تمامًا (من أجل 0 < b < 1)،

من النتائج المعيارية في التحليل الحقيقي أن أي دالة مستمرة ورتيبة تمامًا تكون تقابلية بين منطلقها ومستقرها، أي لكل عنصر في المستقر عنصر واحد يرتبط معه على الأكثر في المنطلق. هذه الحقيقة تنبع من مبرهنة القيمة المتوسطة.

يُشتر إلى معكوس الدالة f بجعل $\log _{b}\colon \mathbb {R} ^{*+}\to \mathbb {R}$. أي أن log_b y هو العدد الحقيقي الوحيد x بحيث $b^{x}=y$. تسمى هذه الدالة "دالة اللغارتم للأساس b" أو "الدالة اللغارتمية" (أو "اللغارتم" فقط).

تمييز بصيغة الجداء

يمكن أيضًا تمييز الدالة log_b x أساسًا من خلال صيغة الجداء:

$$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.$$

بتعبير أدق، اللغارتم لأي أساس b > 1 هو الدالة المتزايدة الوحيدة f المعرفة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق f(b) = 1 و:

$$f(xy)=f(x)+f(y).$$

بيان دالة اللغارتم

يُحصَل على بيان دالة اللغارتم log_b (x) (الأزرق) عن طريق عكس بيان الدالة b^x (الأحمر) على القطر (x = y).

كما نوقش أعلاه، فإن الدالة log_b هي معكوس الدالة الأسية $x\mapsto b^{x}$. لذلك، فإن بياناتهما تتطابق عند مبادلة الفواصل والتراتيب -إحداثيات x و y- (أو عند الانعكاس على القطر x = y)، كما هو موضح على اليمين: النقطة (t, u = b^t) على بيان f تعطي النقطة (u, t = log_b u) على بيان اللغارتم والعكس بالعكس. ونتيجة لذلك، فإن log_b (x) تتباعد إلى ما لا نهاية (تصبح أكبر من أي عدد معين) إذا زاد x إلى ما لا نهاية، بشرط أن يكون b أكبر من واحد. في هذه الحالة، تكون log_b(x) دالة متزايدة. من أجل b < 1، تؤول log_b (x) إلى سالب ما لا نهاية بدلاً من ذلك. عندما يقترب x من الصفر، تؤول log_b x إلى سالب ما لا نهاية من أجل b > 1 (إلى موجب ما لا نهاية من أجل b < 1، على الترتيب).

المشتق ومعاكسه

بيان اللغارتم الطبيعي (بالأخضر) ومماسه عند x = 1.5 (بالأسود)

تنتقل الخواص التحليلية للدوال إلى معكوساتها. ومن ثم، بما أنّ f(x) = b^x دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق، فإن log_b y هي كذلك أيضًا. عمومًا، تكون الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق إذا كان بيانها لا يحتوي على "زوايا" مدببة. علاوةً على ذلك، بما أنّ مشتق f(x) يساوي ln(b) b^x وفقًا لخواص الدالة الأسية، فإنّ قاعدة السلسلة تنص على أنّ مشتقة log_b x تُعطى بـ:

$${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$$

أي أن ميل المماس الذي يمس منحنى لغارتم الأساس b عند النقطة (x, log_b (x)) يساوي 1/(x ln(b)).

مشتقة ln(x) هي 1/x؛ وهذا يعني أن ln(x) هي معاكس المشتق الوحيد لـ 1/x التي لها القيمة 0 من أجل x = 1. هذه الصيغة البسيطة للغاية هي التي دفعت إلى وصف اللغارتم الطبيعي بـ "الطبيعي"؛ وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسة لأهمية الثابت e.

المشتقة ذات العُمْدة الداليّة المُعمَّمة f(x) هي:

$${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$$

يُسمى خارج القسمة في الطرف الأيمن مشتقًا لغارتميًا لـ f. يُعرف حساب f'(x) بواسطة مشتق ln(f(x)) باسم التفاضل اللغارتمي. معاكس مشتق اللغارتم الطبيعي ln(x) هو:

$$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$$

يمكن اشتقاق الصيغ ذات الصلة، مثل معاكسات مشتقات اللغارتمات لأسس أخرى، من هذه المعادلة باستخدام تغيير الأساس.

التمثيل التكاملي للغارتم الطبيعي

اللغارتم الطبيعي لـ t هو المساحة المظللة أسفل بيان الدالة f(x) = 1/x.

يُعرَّف اللغارتم الطبيعي لمتغير t على أنه التكامل المحدود التالي:

$$\ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$$

ميزة هذا التعريف أنه لا يعتمد على الدالة الأسية أو أي دالة مثلثية؛ فالتعريف هذا هو بدلالة تكامل مقلوب بسيط. بصفته تكاملًا، ln(t) يساوي المساحة بين محور x وبيان الدالة 1/x، التي تُراوح من x = 1 إلى x = t. وهذا نتيجة للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل وحقيقة أن مشتقة ln(x) تساوي 1/x. يمكن اشتقاق صيغ لغارتم الجداء والقوة من هذا التعريف. على سبيل المثال، يُستنتج صيغة الجداء ln(tu) = ln(t) + ln(u) على النحو التالي:

$${\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}$$

المساواة (1) تجزئ التكامل إلى جزأين، في حين أن المساواة (2) هي تغيير المتغير (w = x/t). في الرسم التوضيحي أدناه، يقابل التجزئة تقسيم المساحة إلى الجزأين الأصفر والأزرق. إعادة تدريج المساحة الزرقاء اليسرى عموديًا بمعامل t وتقليصها بالمعامل نفسه أفقيًا لا يغير مقاسها. وبتحريكها تحريكًا مناسبًا، تتوافق المساحة مع منحني الدالة f(x) = 1/x مرة أخرى. لذلك، فإن المساحة الزرقاء اليسرى، وهي تكامل f(x) من t إلى tu، هي تكامل من 1 إلى u نفسه. وهذا يبرر المساواة (2) بإثبات هندسي أكثر.

إثبات مرئي لصيغة الجداء للغارتم الطبيعي

يمكن اشتقاق صيغة القوة ln(t^r) = r ln(t) بطريقة مماثلة:

$${\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}$$

تَستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات (التكامل بالتعويض)، w = x^1/r.

يسمى مجموع مقاليب الأعداد الطبيعية،

$$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$$

بالمتسلسلة التوافقية. وهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا باللغارتم الطبيعي: عندما يقترب n من اللانهاية، فإن الفرق

$$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$$

يتقارب (أي يقترب كيفيًا) إلى عدد يعرف باسم ثابت أويلر وماسكيروني γ = 0.5772.... تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل خوارزمية الفرز السريع.

تسامي اللغارتم

تُسمَّى الأعداد الحقيقية غير الجبرية بالأعداد المتسامية؛ π و e، على سبيل المثال، عددان متساميان، ولكن ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ ليس متساميًا. الأعداد الحقيقية أعداد متسامية بغالبها، واللغارتم مثال عن الدالة المتسامية. تنص مبرهنة غيلفوند وشنايدر على أن قيم اللغارتمات متسامية، أو "صعبة" (بالإنجليزية: difficult) حسب تعبير النظرية.

حساب

مفاتيح اللغارتم (LOG للأساس 10 و LN للأساس e) على آلة حاسبة بيانية TI-83 بْلَاس

حساب اللغارتمات سهل في بعض الحالات، مثل log₁₀ (1000) = 3. عمومًا، يمكن حساب اللغارتمات باستخدام متسلسلات القوى أو الوسط الحسابي الهندسي، أو استحضارها من جدول لغارتمات محسوب مسبقًا يوفر دقة ثابتة. يمكن أيضًا استخدام طريقة نيوتن، وهي طريقة تكرارية لحل المعادلات بالتقريب، لحساب اللغارتم، لأن دالته العكسية، الدالة الأسية، يمكن حسابها بكفاءة. باستخدام جداول البحث، يمكن استخدام طرق شبيهة بطريقة «كوردك» (بالإنجليزية: CORDIC) لحساب اللغارتمات باستخدام عمليات الجمع وإزاحة البِتات فقط. علاوة على ذلك، تَحسُب خوارزمية اللغارتم الاثناني دالة lb(x) عَوْدِيًّا، بناءً على التربيعات المتكررة لـ x، مستفيدة من العلاقة:

$$\log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.$$

متسلسلات القوى

متسلسلات تَيْلور

من أجل أي عدد حقيقي z يحقق 0 < z ≤ 2، تنطبق الصيغة التالية:

متسلسلة تيلور لـ ln(z) المتمركزة عند z = 1. تُظهر الصورة المتحركة أولى 10 تقريبات إلى جانب التقريبين 99 و 100. لا تتقارب التقريبات بعد مسافة 1 من المركز.

$${\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}$$

إن إجراء مساواة الدالة ln(z) بهذا المجموع (المتسلسلة) اللانهائي هي طريقة مختصرة للقول بأن الدالة يمكن تقريبها إلى قيمة أكثر دقة من خلال العبارات التالية (المعروفة باسم المجاميع الجزئية):

$$(z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots$$

على سبيل المثال، مع z = 1.5، ينتج عن التقريب الثالث 0.4167، وهو أكبر بنحو 0.011 مرة من ln(1.5) = 0.405465، وينتج عن التقريب التاسع 0.40553، وهو أكبر بنحو 0.0001 مرة فقط. يمكن للمجموع الجزئي النوني (n) تقريب ln(z) بدقة كيفية، بشرط أن يكون عدد الحدود المضافة n كبيرًا بما يكفي.

في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، يُقال إن المتسلسلة تتقارب إلى الدالة ln(z)، والدالة هي نهاية المتسلسلة. وهي متسلسلة تيلور للغارتم الطبيعي عند z = 1. توفر متسلسلة تيلور لـ ln(z) تقريبًا مفيدًا بشكل خاص لـ ln(1 + z) عندما يكون z صغيرًا، أي |z| < 1، لأنه عندئذٍ:$$\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.$$

على سبيل المثال، مع z = 0.1، يعطي التقريب من المرتبة الأولى ln(1.1) ≈ 0.1، والذي يقع ضمن هامش خطأ أقل من 5% عن القيمة الصحيحة 0.0953.

معكوس الظل الزائدي

متسلسلة أخرى تستند إلى دالة معكوس الظل الزائدي:

$$\ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$$

من أجل أي عدد حقيقي z > 0. باستخدام تدوين سيغما، يُكتب هذا أيضًا على النحو التالي:

$$\ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.$$

يمكن اشتقاق هذه المتسلسلة من متسلسلة تيلور أعلاه. وهي تتقارب تقاربًا أسرع من متسلسلة تيلور، خاصة إذا كان z قريبًا من 1. على سبيل المثال، من أجل z = 1.5، فإن الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة الثانية تُقارب ln(1.5) بخطأ يبلغ نحو 3×10⁻⁶. يمكن الاستفادة من التقارب السريع لـ z القريب من 1 بالطريقة التالية: يُعطى تقريب منخفض الدقة y ≈ ln(z) ونضع:

$$A={\frac {z}{\exp(y)}},$$

لغارتم z هو:

$$\ln(z)=y+\ln(A).$$

كلما كان التقريب الابتدائي y أفضل، اقترب A من 1، ومن ثم يمكن حساب لغارتمه بكفاءة. يمكن حساب A باستخدام المتسلسلة الأسية، التي تتقارب بسرعة شريطة ألا يكون y كبيرًا جدًا. يمكن تقليص حساب لغارتم z ذات القيمة الأكبر إلى قيم أصغر لـ z بكتابة z = a · 10^b، بحيث يكون ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

يمكن استخدام طريقة وثيقة الصلة لتحسيب لغارتم الأعداد الصحيحة. بوضع $\textstyle z={\frac {n+1}{n}}$ في المتسلسلة أعلاه، يترتب على ذلك ما يلي:

$$\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$$

إذا كان لغارتم عدد صحيح كبير n معلومًا، فإن هذه المتسلسلة تعطي متسلسلة سريعة التقارب لـ log(n+1)، بمعدل تقارب ${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$.

تقريب بالوسط الحسابي الهندسي

يوفر الوسط الحسابي الهندسي تقريبات عالية الدقة للغارتم الطبيعي. أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أن تقريب بالوسط الحسابي الهندسي سريع بشكل خاص للدقة بين 400 و1000 منزلة عشرية، في حين أن طرق التي تعتمد على متسلسلة تيلور كانت عادةً أسرع عندما كانت الدقة المطلوبة أقل. في عملهما، تُقرَّب ln(x) بدقة 2^−p (أو p بتات دقيقة) بالصيغة التالية (بفضل كارل فريدريش غاوس):

$$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).$$

وفيها يشير M(x, y) إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ x و y. ويُحصَل عليه عن طريق حساب المتوسط (x + y)/2 (الوسط الحسابي) و ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$ (الوسط الهندسي) لـ x و y بشكل متكرر، ثم جعل هذين العددين يصبحان x و y التاليين. يتقارب العددان بسرعة إلى نهاية مشتركة وهو قيمة M(x, y). يُختار m بحيث:

$$x\,2^{m}>2^{p/2}.\,$$

لضمان الدقة المطلوبة. كلما زاد كِبَر m، زاد عدد الخطوات اللازمة لحساب M(x, y) (حيث يكون x و y الأوليان أبعد عن بعضهما، مما يتطلب عددًا أكبر من الخطوات للتقارب)، ولكن ذلك يوفر دقة أكبر. يمكن حساب الثوابت π و ln(2) باستخدام متسلسلات سريعة التقارب.

خوارزمية فاينمان

طور ريتشارد فاينمان، في أثناء عمله في مختبر لوس ألاموس الوطني على مشروع مانهاتن، خوارزمية معالجة بتات لتحسيب اللغارتم تشبه القسمة الطويلة، واستُخدمت لاحقًا في آلة التواصل. تعتمد الخوارزمية على حقيقة أن كل عدد حقيقي x مع 1 < x < 2 يمكن تمثيله على شكل جداء P لعوامل متمايزة بالصيغة 1 + 2^−k. تبني الخوارزمية هذا الجداء تسلسليًا، بدءًا من P = 1 و k = 1: إذا كان P · (1 + 2^−k) < x، فإنها تغير P إلى P · (1 + 2^−k). ثم تزيد $k$ بمقدار واحد بغض النظر عن النتيجة. تتوقف الخوارزمية عندما يكون k كبيرًا بما يكفي لإعطاء الضَبَاطة المطلوبة. نظرًا لأن log(x) هو مجموع الحدود من الشكل log(1 + 2^−k) المقابل لتلك الأعداد k التي فيها ضُمِّنَّ العامل 1 + 2^−k في الجداء P، يمكن تحسيب log(x) بعملية جمع بسيطة، باستخدام جدول log(1 + 2^−k) من أجل قيم k كلها. يمكن استخدام أي أساس لجدول اللغارتم.

تطبيقات

صدفة النوتي تظهر حلزونًا لغارتميًا

للّغارتمات العديد من التطبيقات داخل الرياضيات وخارجها. بعض هذه التطبيقات مرتبطة بمفهوم لاتغير التدريج. على سبيل المثال، كل حُجْرَة من حُجُرات صدفة النوتي هي نسخة تقريبية من الحجرة التالية، مُدرَّجة بعامل ثابت. وهذا يؤدي إلى ظهور حلزون لغارتمي. يمكن أيضًا تفسير قانون بنفورد بشأن توزيع الأرقام الأولى بلا تغير التدريج. ترتبط اللغارتمات أيضًا بالتشابه الذاتي. على سبيل المثال، تظهر اللغارتمات في تحليل الخوارزميات التي تحل مسألة ما عن طريق تقسيمها إلى مسألتين أصغر متشابهتين وربط حلولهما. كما تستند أبعاد الأشكال الهندسية المتشابهة ذاتيًا، أي الأشكال التي تشبه أجزاؤها الصورة الكلية، إلى اللغارتمات. وتُعد التدريجات اللغارتمية مفيدة في قياس التغير النسبي لقيمة ما مقابل الفرق المطلق لها. علاوة على ذلك، نظرًا لأن الدالة اللغارتمية log(x) تنمو ببطء شديد بالنسبة لقيم x الكبيرة، تُستخدم التدريجات اللغارتمية لضغط المعطيات العلمية واسعة النطاق. تظهر اللغارتمات أيضًا في العديد من الصيغ العلمية، مثل معادلة الصاروخ لتسالكوفسكي، ومعادلة فِنْسك، أو معادلة نرنست.

التدريج اللغارتمي

المقالة الرئيسة: تدريج لغارتمي

مخطط لغارتمي يوضح قيمة المارك الذهبي الواحد بالمارك الورقي خلال فترة التضخم الجامح في ألمانيا في عشرينيات القرن 20.

غالبًا ما تُعبَّر عن الكميات العلمية على شكل لغارتمات لكميات أخرى، باستخدام تدريج لغارتمي. على سبيل المثال، الديسيبل هو وحدة قياس مرتبطة بكميات التدريج اللغارتمي. وهو يعتمد على اللغارتم الشائع للنسب — 10 مرات اللغارتم الشائع لنسبة القدرة أو 20 مرة اللغارتم الشائع لنسبة الجهد. يستخدم لقياس توهين الإشارات الكهربائية أو تضخيمها، ولوصف مستويات قدرة الأصوات في الصوتيات، وامتصاصية الضوء في مجالات المطيافية والبصريات. تُقَاس نسبة الإشارة إلى الضجيج التي تصف مقدار الضجيج غير المرغوب فيه بالنسبة إلى إشارة (ذات معنى) بالديسيبل أيضًا. وعلى المنوال نفسه، تُستخدم نسبة إشارة القمة إلى الضجيج عادةً لتقييم جودة طرق ضغط الصوت والصورة باستخدام اللغارتم.

تُقاس قوة الزلزال بحساب اللغارتم الشائع للطاقة المنبعثة عند الزلزال. ويُستخدم هذا في سلم مقدار العزم أو سلم رِخْتَر. على سبيل المثال، يطلق زلزال بشدة 5.0 32 مرةً (10^1.5) من الطاقة التي يطلقها زلزال بشدة 4.0، في حين يطلق زلزال ذو شدة 6.0 1000 مرة (10³) من الطاقة التي يطلقها زلزال ذو شدة 4.0. يقيس القدر الظاهري لمعان النجوم لغارتميًا. يُشار إلى مرافق اللغارتم العشري، أي سالب اللغارتم العشري، في الكيمياء بالحرف p. الأس الهيدروجيني (pH) على سبيل المثال هو سالب اللغارتم العشري لنشاط أيونات الهيدرونيوم (الشكل الذي تتخذه أيونات الهيدروجين H⁺ في الماء). نشاط أيونات الهيدرونيوم في الماء الحيادي هو 10⁻⁷ mol·L⁻¹، ومن ثم فإن الأس الهيدروجيني هو 7. عادةً ما يكون الأس الهيدروجيني للخل نحو 3. الفرق 4 يتوافق مع نسبة 10⁴ من النشاط، أي أن نشاط أيون الهيدرونيوم في الخل يبلغ نحو 10⁻³ mol·L⁻¹.

تَستخدم البيانات نصف اللغارتمية (اللغارتمية الخطية) مفهوم التدريج اللغارتمي للإظهار: تُدرَّج أحد المحاور، عادةً المحور الشاقولي، لغارتميًا. على سبيل المثال، يضغط المخطط الموجود على اليمين الزيادة الحادة من مليون إلى تريليون إلى نفس المساحة (على المحور الشاقولي) مثل الزيادة من 1 إلى مليون. في مثل هذه البيانات، تظهر الدوال الأسية من الصيغة f(x) = a · b^x على شكل مستقيمات ذات ميل يساوي لغارتم b. تُدرِّج بيانات اللغارتم بدلالة اللغارتم كلا المحورين لغارتميًا، مما يؤدي إلى تصوير الدوال من الصيغة f(x) = a · x^k على شكل مستقيمات ذات ميل يساوي الأس k. ويُطبَّق ذلك في إظهار قوانين القوة وتحليلها.

علم النفس

تظهر اللغارتمات في العديد من القوانين التي تصف الإدراك الحسي البشري: يقترح قانون هيك وجود علاقة لغارتمية بين الوقت الذي يستغرقه الأفراد لاختيار بديل وعدد الخيارات المتاحة لهم. يتنبأ قانون فيتس بأن الوقت اللازم للتحرك بسرعة إلى منطقة مستهدفة هو دالة لغارتمية لنسبة المسافة إلى الهدف وحجمه. في علم الطبيعة النفسية، يقترح قانون فِيبَر وفِشْنَر وجود علاقة لغارتمية بين المُنبِّه والإحساس، مثل الوزن الفعلي مقابل الوزن المتصور لشيء يحمله الشخص. (ومع ذلك، فإن هذا "القانون" أقل واقعية من النماذج الأحدث، مثل قانون القوة لِستيفنز.)

أظهرت الدراسات النفسية أن الأفراد الذين لم يتلقوا تعليمًا رياضياتيًا كافيًا يميلون إلى تقدير الكميات بطريقة لغارتمية، أي أنهم يضعون العدد على خط لم توضَع علامات عليه وفقًا للغارتم الخاص به، فيكون الرقم 10 قريبًا من 100 بقدر قرب 100 من 1000. يؤدي زيادة التعليم إلى تحويل هذا إلى تقدير خطي (بوضع 1000 عشر مرات أبعد) في بعض الظروف، في حين تُستخدَم اللغارتمات عندما يكون من الصعب تحديد الأعداد المراد تحديدها خطيًا.

نظرية الاحتمالات والإحصاء

ثلاث دوال كثافة احتمالية (PDF) لمتغيرات عشوائية ذات توزيعات طبيعية لغارتمية. الوسيط المكاني μ، التي تساوي صفرًا لجميع دوال الكثافة الاحتمالية الثلاث الموضحة، هي وسط لغارتم المتغير العشوائي، وليس وسط المتغير نفسه.

تظهر اللغارتمات في نظرية الاحتمالات: ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما زاد عدد مرات رمي نقد معدني عديل وصولاً إلى ما لا نهاية، اقترب احتمال الحصول على أحد الوجه من النصف. يُوصف تباين هذه النسبة عن قيمة النصف بقانون اللغارتم التكراري.

تظهر اللغارتمات أيضًا في التوزيعات الطبيعية اللغارتمية. عندما يكون لغارتم متغير عشوائي ذو توزيع طبيعي، يُقال إن المتغير له توزيع طبيعي لغارتمي. توجد التوزيعات الطبيعية اللغارتمية في العديد من المجالات، خاصةً عندما يتكون متغير ما من جداء عدد من المتغيرات العشوائية الموجبة المستقلة، على سبيل المثال في دراسة اضطراب الموائع.

توزيع الأرقام الأولى (بالنسبة المئوية، الأعمدة الحمراء) في أعداد سكان 237 دولة حول العالم. تشير النقاط السوداء إلى التوزيع المتوقع وفقًا لقانون بنفورد.

تُستخدم اللغارتمات لتقدير الأرجحية العظمى للنماذج الإحصائية الوسيطية. بالنسبة لمثل هذا النموذج، تعتمد دالة الأرجحية على وسيط واحد على الأقل يجب تقديرها. يحدث القيمة العظمى لدالة الأرجحية عند نفس قيمة الوسيط مثل القيمة العظمى لِلُغارتم الأرجحية (الأرجحية اللغارتمية)، لأن اللغارتم دالة متزايدة. من الأسهل تعظيم الأرجحية اللغارتمية، خاصة بالنسبة لأرجحيات مضروبة لمتغيرات عشوائية مستقلة.

يصف قانون بنفورد تكرار الأرقام في العديد من مجموعات المعطيات، مثل ارتفاعات المباني. احتمال أن يكون الرقم العشري الأول لعنصر ما في عينة المعطيات هو d (من 1 إلى 9) يساوي log₁₀ (d + 1) − log₁₀ (d)، بغض النظر عن وحدة القياس وفقًا لقانون بنفورد. ومن ثم، يمكن توقع أن يكون الرقم الأول في حوالي 30٪ من البيانات هو 1، و 18٪ يبدأ بـ 2، وهكذا. يفحص المدققون الانحرافات عن قانون بنفورد للكشف عن الاحتيال المحاسبي.

التحويل اللغارتمي هو نوع من أنواع تحويل المعطيات يُستخدم لتقريب التوزيع التجريبي من التوزيع المفترض.

التعقيد الحوسبي

تحليل الخوارزميات فرع من فروع علم الحاسوب يدرس أداء الخوارزميات (برامج الحاسوب التي تحل مسألة معينة). تفيد اللغارتمات في وصف الخوارزميات التي تقسم المسألة إلى مسائل أصغر، خاصة العودية منها، التي تُرد المسائل المُعقدة فيها إلى مسائل أبسط لها حلول معروفة.

تُستعمَل خوارزمية البحث الاثناني، على سبيل المثال، لإيجاد عدد في قائمة مُرتَّبة عدد عناصرها N، تَحسُب الخوارزمية أولًا فهرس العنصر الأوسط وتفحصه، فإن لم يساوي القيمة المستهدفة، تقارنه معها، وتنتقل إلى النصف الذي يسبقه أو يليه وفقًا لنتيحة المقارنة. تتطلب هذه الخوارزمية في المتوسط إنجاز log₂ (N) مقارنة. وبالمثل، تَفْرِز خوارزمية الفرز بالمرج قائمة غير مفروزة عن طريق تقسيم القائمة إلى نصفين وفرزهما أولًا قبل مرج النتائج. تتطلب خوارزميات الفرز بالمرج عادةً وقتًا يتناسب تقريبًا مع N · log(N). لم يُحدَّد أساس اللغارتم هنا، لأن النتيجة تتغير فقط بعامل ثابت عند استخدام أساس آخر. عادةً ما يُتَجاهَل العامل الثابت في تحليل الخوارزميات بموجب نموذج التكلفة الموحدة المعياري.

يقال إن الدالة f(x) تتزايد لغارتميًا إذا كانت (بالضبط أو تقريبًا) متناسبة مع لغارتم x. لكن أدبيات علم الأحياء تستخدم هذا المصطلح للدالة الأسية التي تصف تكاثر الكائنات الحية. يُمكِن، على سبيل المثال، تمثيل أي عدد طبيعي N في شكل اثناني بما لا يزيد عن log₂ N + 1 بت. بمعنى آخر، تزداد كمية الذاكرة اللازمة لتخزين N لغارتميًا مع N.

الإنتروبيا والشواش

طالع أيضًا: إنتروبيا ونظرية الشواش

البلياردو على طاولة بلياردو بيضاوية. جسيمان، يبدآن من المركز بزاوية تختلف بمقدار درجة واحدة، يسلكان مسارين يتباعدان بِشواش بسبب الانعكاسات عند الحدود.

الإنتروبيا قَيْس عام لاضطراب بعض الأنظمة. في الديناميكا الحرارية الإحصائية، تُعرَّف إنتروبيا بعض الأنظمة الفيزيائية S على أنها:

$$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,$$

أي أنها مجموعٌ لحالات النظام المعني الممكنة كلها وعددها i، مثل مواقع جسيمات الغاز في حاوية. علاوة على ذلك، p_i هي احتمالية الوصول إلى الحالة i و k هو ثابت بولتزمان. وبالمثل، تقيس الانتروبيا في نظرية المعلومات كمية المعلومات. إذا كان مستلم الرسالة يتوقع أي رسالة من N رسائل ممكنة بأرجحية متساوية، فإن كمية المعلومات التي تنقلها أي رسالة من هذا النوع تُقاس بـ log₂ N بت.

تُستخدَم إساس ليابونوف اللغارتمات لقياس درجة الشواش في نظام ديناميكي. على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم يتحرك على طاولة بلياردو بيضاوية، فإن التغيرات الطفيفة في الظروف الابتدائية تؤدي إلى مسارات مختلفة جدًا للجسيم. هذه الأنظمة شَوِشَة بطريقة حتمية، لأن الأخطاء الصغيرة في قياس الحالة الابتدائية تؤدي بشكل متوقع إلى حالات نهائية مختلفة إلى حد كبير. يكون أس ليابونوف واحد على الأقل لنظام شوش حتمي موجبًا.

الكسوريات

يُنشَأ مثلث سِيِرْبِنْسكي (على اليمين) عن طريق استبدال ثلاثة مثلثات أصغر حجمًا بالمثلثات المتساوية الأضلاع بشكل متكرر.

تظهر اللغارتمات في تعريفات أبعاد الكسوريات. الكسوريات هي كائنات هندسية متشابهة ذاتيًا بمعنى أن الأجزاء الصغيرة منها تعيد إنتاج، على الأقل تقريبيًا، البنية الكلية بأكملها. يمكن تغطية مثلث سِيِرْبِنْسكي (في الصورة) بثلاث نسخ منه، كل منها لها أضلاع بطول نصف الطول الأصلي. وهذا يجعل بُعد هاوسدورف لهذه البنية ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. ويُحْصَل على مفهوم آخر للبعد القائم على اللغارتمات عن طريق حساب عدد المكعبات اللازمة لتغطية الكسوري المعني.

الموسيقى

أربعة أجوبة مختلفة موضحة على تدريج خطي، ثم على تدريج لغارتمي (كما تسمعها الأذن)

ترتبط اللغارتمات بالنغمات والمسافات الموسيقية. في دَوْزَنَات السلم المُعدَّل بالتساوي، تعتمد نسبة التردد فقط على المسافة بين نغمتين، وليس على التردد أو الحِدَّة المحددين لكل نغمة. في دوزنة السلم المعدل بالتساوي اثنا عشري النغمات الشائع في الموسيقى الغربية الحديثة، يُقسَّم كل جواب (مُضاعَفة التردد) إلى اثني عشر مسافة متساوية الفراغ تسمى أنصاف نغمات. على سبيل المثال، إذا كان تردد المُجَسِّدَة لا هو 440 هرتز، فإن تردد مجسدة سي مع الخفض هو 466 هرتز. المسافة بين لا و سي مع الخفض هي نصف نغمة، وكذلك المسافة بين سي مع الخفض و سي (تردد 493 هرتز). وبناءً على ذلك، تتطابق نسب الترددات:

$${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$$

يمكن قياس المسافات بين الحِدَّات الكيفية بالأجوبة عن طريق أخذ لغارتم الأساس 2 لنسبة التردد، أو يمكن قياسها بنصف نغمات مُعدَّلَة بالتساوي عن طريق أخذ لغارتم الأساس 2^1/12 (12 مرات لغارتم الأساس 2)، أو يمكن قياسها بالسنتات، أي أجزاء من مئة جزء من نصف نغمة، عن طريق أخذ لغارتم الأساس 2^1/1200 (1200 مرات لغارتم الأساس 2). يُستخدم الأخير لترميز أدق، حيث إنه ضروري للقياسات الدقيقة أو السلالم المعدلة بالتساوي.

المسافة (تُعْزَف النغمتين في نفس الوقت)	1/12 نغمة	نصف النغمة	الثالث الكبير المضبوط	الثالث الكبير	ثلاثي النغمات	الجواب
نسبة التردد $r$	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595$	${\tfrac {5}{4}}=1.25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
عدد أنصاف النغمات $12\log _{2}r$	${\tfrac {1}{6}}$	$1$	$\approx 3.8631$	$4$	$6$	$12$
عدد السنتات $1200\log _{2}r$	$16{\tfrac {2}{3}}$	$100$	$\approx 386.31$	$400$	$600$	$1200$

نظرية الأعداد

ترتبط اللغارتمات الطبيعية ارتباطًا وثيقًا بعد الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، ...)، وهو موضوع مهم في نظرية الأعداد. بالنسبة لأي عدد صحيح x، يُشار إلى كمية الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي x بـ π(x). تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن π(x) تُعطى تقريبًا بـ:

$${\frac {x}{\ln(x)}},$$

بمعنى أن نسبة π(x) إلى هذا الكسر تقترب من 1 عندما يقترب x من اللانهاية. ونتيجة لذلك، فإن احتمال أن يكون الرقم المختار عشوائيًا بين 1 و x عددًا أوليًا يتناسب عكسيًا مع عدد الأرقام العشرية لـ x. ويُحصَل على تقدير أفضل بكثير لـ π(x) من خلال دالة التكامل اللغارتمي الحائدة Li(x)، المعرفة بـ:

$$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.$$

يمكن صياغة فرضية ريمان، وهي واحدة من أقدم الحدسيات الرياضية المفتوحة، بدلالة مقارنة π(x) و Li(x). كما أن مبرهنة إردوس وَكاك التي تصف عدد العوامل الأولية المتمايزة تتضمن أيضًا اللغارتم الطبيعي.

لغارتم عاملي n، أي n! = 1 · 2 · ... · n، يُعطى بـ:$$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).$$

يمكن استخدام هذا للحصول على صيغة سترلنغ، وهي تقريب لـ n! لقيم n الكبيرة.

تعميمات

اللغارتمات العقدية

المقالة الرئيسة: لغارتم عقدي

الشكل القطبي لـ z = x + iy. كل من φ و φ' هما عُمَدتَا z.

جميع الأعداد العقدية a التي تحل المعادلة:

$$e^{a}=z$$

تسمى لغارتمات عقدية لـ z، عندما يكون (يعتبر) z عددًا عقديًا. عادةً ما يُمثَّل العدد العقدي على شكل z = x + iy، وفيه x و y أعداد حقيقية و i وحدة تخيلية، ومربعها هو −1. يمكن تمثيل هذا العدد بنقطة في المستوي العقدي، كما هو موضح على اليمين. يُرَمِّز الشكل القطبي العدد العقدي غير المعدوم z بقيمته المطلقة، أي المسافة (الموجبة، الحقيقية) r إلى الأصل، والزاوية بين المحور الحقيقي (محور x) Re والخط الذي يمر عبر كل من الأصل و z. تسمى هذه الزاوية عًُمْدَة z.

القيمة المطلقة r لـ z تُعطى بـ:

$$\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$

يمكن التعبي عن أي عدد عقدي z اعتمادًا على التفسير الهندسي للجيب وجيب التمام ودورهما 2π، على النحو التالي:

$${\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}$$من أجل أي عدد صحيح k. من الواضح أن عمدة z ليست محددة تحديدًا فريدًا: كل من φ و φ' = φ + 2kπ عُمَد صالحة لـ z من أجل جميع الأعداد الصحيحة k، لأن إضافة 2kπ راديان أو k⋅360° إلى φ يقابله "الالتفاف" حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار k دورة. العدد العقدي الناتج هو دائمًا z، كما هو موضح على اليمين من أجل k = 1. يمكن انتقاء واحد فقط من العُمَد الممكنة لـ z باعتبارها العمدة الرئيسة، المشار إليها بـ Arg(z)، بحرف A كبير، من خلال اشتراط أن ينتمي φ إلى دورة واحدة منتقاة انتقاءً ملائمًا، على سبيل المثال −π < φ ≤ π أو 0 ≤ φ < 2π. تسمى هذه المناطق التي فيها تُحدَّد عمدة z تحديدًا فريدًا بفروع دالة العمدة.

الفرع الرئيس (-π, π) من اللغارتم العقدي، Log(z). النقطة السوداء عند z = 1 تقابل قيمة مطلقة تساوي الصفر، والألوان الأكثر سطوعًا تشير إلى قيم مطلقة أكبر. تُرمِّز النُقْبَة عمدة Log(z).

تربط صيغة أويلر الدالتين المثلثيتين جيب وجيب تمام بالدالة الأسية العقدية:

$$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$$

باستخدام هذه الصيغة، ومرة أخرى خاصية الدورية، تنطبق المتطابقات التالية:

$${\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}$$

وفيها ln(r) هو اللغارتم الطبيعي الحقيقي الفريد، و a_k يشير إلى اللغارتمات العقدية لـ z، و k هو عدد صحيح كيفي. لذلك، فإن اللغارتمات العقدية لـ z، وهي جميع القيم العقدية a_k التي تكون فيها القوة من المرتبة a_k لـ e تساوي z، هي القيم العديدة اللامنتهية:

$$a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),$$

من أجل الأعداد الصحيحة الكيفية k.

بأخذ k بحيث يكون φ + 2kπ ضمن المجال المحدد للعمد الرئيسة، فإن a_k يُسمى القيمة الرئيسة للغارتم، ويُدوَّن بـ Log(z)، أيضًا بحرف L كبير. العمدة الرئيسة لأي عدد حقيقي موجب x هي 0؛ ومن ثم فإن Log(x) هو عدد حقيقي ويساوي اللغارتم الحقيقي (الطبيعي). ومع ذلك، فإن الصيغ أعلاه للغارتمات الجداءات والقوى لا تنطبق على القيمة الرئيسة للغارتم العقدي.

يوضح الرسم التوضيحي على اليمين Log(z)، ويقصر عمد z على المجال (−π, π]. وبهذه الطريقة، يكون للفرع المقابل من اللغارتم العقدي انقطاعات على طول محور x الحقيقي السالب، والتي يمكن رؤيتها في القفزة في النقبة هناك. ينشأ هذا الانقطاع من القفز إلى الحد الآخر في نفس الفرع، عند عبور الحد، أي عدم التغيير إلى قيمة k المقابلة للفرع المجاور المستمر. يسمى هذا المحل الهندسي بقطع تفرعي. يؤدي إسقاط اقتصارات المدى على العمدة إلى جعل علاقات "عمدة z"، ومن ثم "لغارتم z"، دوالًا متعددة القيم.

معكوسات الدوال الأسية الأخرى

يُستخدم الرفع الأسي في العديد من مجالات الرياضيات وغالبًا ما يشار إلى دالة عكسية لها باسم اللغارتم. على سبيل المثال، لغارتم المصفوفة هو الدالة العكسية (متعددة القيم) لأسية المصفوفة. اللغارتم الأوّليّانيّ مثال آخر، وهو الدالة العكسية للأسية الأوّليانيّة. كلاهما يُعرّفان بمتسلسلة تيلور مماثلة للحالة الحقيقية. في سياق الهندسة التفاضلية، يُحوِّل التطبيق الأسي الفضاء المُماس عند نقطة من المتنوعة إلى جوار تلك النقطة. ويُطلق على معكوسها أيضًا اسم التطبيق اللغارتمي.

يُجرى الرفع الأسي في سياق الزمر المنتهية عن طريق ضرب عنصر الزمرة b بنفسه ضربًا متكررًا. اللغارتم المتقطع هو العدد الصحيح n الذي يحل المعادلة:

$$b^{n}=x,$$

وفيها x عنصر من عناصر الزمرة. يمكن إجراء الرفع الأسي بكفاءة، ولكن يُعتقد أن اللغارتم المتقطع صعب الحساب في بعض الزمر. لهذا اللاتناظر تطبيقات مهمة في التعمية بالمفتاح العام، مثل طريقة ديفي وهيلمان لتبادل المفاتيح، وهي إجرائية تسمح بتبادل مفاتيح التعمية تبادلًا آمنًا عبر قنوات اتصال غير آمنة. يرتبط لغارتم تْسِيش باللغارتم المتقطع في الزمرة الضربية لعناصر غير صفرية في حقل منتهٍ.

تشمل الدوال العكسية الشبيهة باللغارتمات اللغارتم المزدوج ln(ln(x))، واللغارتم الفائق (وهو اختلاف طفيف عنه يسمى اللغارتم المتكرر في علم الحاسوب)، ودالة W لِلامبرت، ولوجيت. وهي الدوال العكسية للدالة الأسية المزدوجة، والتكرار الأسي، و f(w) = we^w، والدالة المنطقية الرمزية، على الترتيب.

المفاهيم المتعلقة

تعد المتطابقة log(cd) = log(c) + log(d) من منظور نظرية الزمر تماكلًا زمريًا بين الأعداد الحقيقية الموجبة الخاضعة لعملية الضرب والأعداد الحقيقية الخاضعة لعملية الجمع. الدوال اللغارتمية هي التماكلات المستمرة الوحيدة بين هذه الزمر. وبواسطة هذا التماكل، فإن قَيْس هار (قيس لوبيغ) dx على الأعداد الحقيقية يتوافق مع قَيْس هار dx/x على الأعداد الحقيقية الموجبة. الأعداد الحقيقية غير السالبة لا تحتوي على الضرب فحسب، بل تحتوي أيضًا على الجمع، وتشكل نصف حلقة، تسمى نصف حلقة الاحتمال؛ وهي في الواقع نصف حقل. ثم يأخذ اللغارتم الضرب إلى الجمع (الضرب اللغارتمي)، ويأخذ الجمع إلى الجمع اللغارتمي (لوغ سوم إكسب)، مما يعطي تماكل أنصاف الحلقات بين نصف حلقة الاحتمال ونصف الحلقة اللغارتمي.

تظهر الأشكال اللغارتمية من الدرجة الأولى df/f في التحليل العقدي والهندسة الجبرية في صورة أشكال تفاضلية ذات أقطاب لغارتمية.

اللغارتم المتعدد دالة معرفة بالعلاقة التالية:

$$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$$

وهي مرتبطة باللغارتم الطبيعي بواسطة Li₁ (z) = −ln(1 − z). علاوة على ذلك، فإن Li_s (1) تساوي دالة زيتا لريمان ζ(s).

انظر أيضًا

• دالة أسية
• لغارتم اثناني
• كشاف مواضيع اللغارتم

المراجع

فهرس المراجع

المنشورات

بالعربية

بالإنجليزية

بالفرنسية

باللاتينية

الوب

بالعربية

بالإنجليزية

بيانات المراجع الكاملة

المقالات المُحكَمة

بالعربية

• محمد عادل سودان؛ سامي شلهوب (2003). "ابن حمزة المغربي". الموسوعة العربية ط.1 (1998-2008). ج. 8: 560–561. QID:Q136655839.

بالإنجليزية

• Florian Cajori (1913). "History of the Exponential and Logarithmic Concepts: I. From Napier to Leibniz and John Bernoulli I". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 20 (1): 5–14. DOI:10.2307/2973509. ISSN:0002-9890. JSTOR:2973509. OCLC:5556035702. QID:Q136678597.
• Florian Cajori (1913). "History of the Exponential and Logarithmic Concepts:: III. Creation of a theory of logarithms of complex numbers by Euler". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 20 (3): 75–84. DOI:10.2307/2973441. ISSN:0002-9890. JSTOR:2973441. OCLC:5545592504. QID:Q56059147.
• Paul Fitts (1954). "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement". Journal of experimental psychology (بالإنجليزية). 47 (6): 381–391. DOI:10.1037/H0055392. ISSN:0022-1015. OCLC:4924786850. PMID:13174710. S2CID:501599. QID:Q30463892.
• J. E. Meggitt (1962). "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes". IBM Journal of Research and Development (بالإنجليزية). 6 (2): 210–226. DOI:10.1147/RD.62.0210. ISSN:0018-8646. OCLC:4657012096. S2CID:19387286. Zbl:0201.48709. QID:Q30052160.
• Jacques E. Romain (1968). "Computer approximations: Numerical Integration". Physics Today (بالإنجليزية). 21 (2): 91. Bibcode:1968PhT....21b..91D. DOI:10.1063/1.3034795. ISSN:0031-9228. QID:Q136681072.
• R. C. Pierce, Jr. (1977). "A Brief History of Logarithms". The Two-Year College Mathematics Journal (بالإنجليزية). 8 (1): 22–26. DOI:10.2307/3026878. ISSN:0049-4925. JSTOR:3026878. OCLC:425077702. QID:Q136650445.
• Sasaki Tateaki; Kanada Yasumasa (1982). "Practically Fast Multiple-Precision Evaluation of LOG(X)". Journal of Information Processing (بالإنجليزية). 5 (4): 247–250. ISSN:0387-6101. QID:Q136694712.
• W. Daniel Hillis (1989). "Richard Feynman and the Connection Machine". Physics Today (بالإنجليزية). 42 (2): 78–83. Bibcode:1989PhT....42b..78H. DOI:10.1063/1.881196. ISSN:0031-9228. OCLC:4636681514. QID:Q55871992.
• M. Zhang; J.G. Delgado-Frias; S. Vassiliadis (1994). "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation". Proceedings of the Institution of Electrical Engineers (بالإنجليزية). 141 (5): 281–292. DOI:10.1049/IP-CDT:19941268. OCLC:4637552106. Zbl:0811.65011. QID:Q54118497.
• Katsumi Nomizu (1996). "Mahler Functions and Transcendental Numbers". Selected papers on number theory and algebraic geometry. American Mathematical Society translations, Ser. 2 (بالإنجليزية). 172: 21–31. ISBN:978-0-8218-0445-2. OCLC:200999141. QID:Q136688706.
• Serge Lang (1997). Undergraduate Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4757-2698-5. ISBN:978-0-387-94841-6. LCCN:96026339. MR:1476913. OCLC:34990068. QID:Q29028819.
• Timm Ahrendt (1999). "Fast Computations of the Exponential Function". Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science. Lecture Notes in Computer Science (بالإنجليزية): 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN:978-3-540-65691-3. QID:Q55890350.
• Jens G Nørby (2000). "The origin and the meaning of the little p in pH". Trends in Biochemical Sciences (بالإنجليزية). 25 (1): 36–37. DOI:10.1016/S0968-0004(99)01517-0. ISSN:0968-0004. PMID:10637613. QID:Q33818830.
• Cindy Durtschi; William Hillison; Carl Pacini (2004). "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data" (PDF). Journal of Forensic Accounting Research (بالإنجليزية). V: 17–34. ISSN:2380-2154. S2CID:17973012. QID:Q136735482.
• Graham Jagger (2003). "The making of logarithm table". The History of Mathematical Tables (بالإنجليزية): 49–78. ISBN:978-0-19-850841-0. QID:Q136688836.
• George Maling Jr. (2007). "Noise". Springer Handbook of Acoustics. Springer Handbooks (بالإنجليزية): 961–1010. DOI:10.1007/978-0-387-30425-0_23. ISBN:978-0-387-30425-0. QID:Q136724666.
• Stanislas Dehaene; Véronique Izard; Elizabeth Spelke; Pierre Pica (2008). "Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures". Science (بالإنجليزية). 320 (5880): 1217–20. Bibcode:2008Sci...320.1217D. DOI:10.1126/SCIENCE.1156540. ISSN:0036-8075. OCLC:264381624. PMC:2610411. PMID:18511690. Zbl:1226.01002. QID:Q24656417.
• D. J. Yu; E. R. Hancock; W. A. P. Smith (2009). "Learning a Self-organizing Map Model on a Riemannian Manifold". Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Lecture Notes in Computer Science (بالإنجليزية): 375–390. DOI:10.1007/978-3-642-03596-8_22. ISBN:978-3-642-03596-8. OCLC:10953399033. Zbl:1259.68174. QID:Q60431141.
• Menso Folkerts; Dieter Launert; Andreas Thom (2016). "Jost Bürgi's method for calculating sines". Historia Mathematica (بالإنجليزية). 43 (2): 133–147. DOI:10.1016/J.HM.2016.03.001. ISSN:0315-0860. OCLC:6013888758. Zbl:1343.01011. QID:Q56116069.

الكتب

بالعربية

• محاضر الجلسات، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، ج. 5، 1948، QID:Q136759699
• محمد دبس، المحرر (1983)، معجم مصطلحات العلم والتكنولوجيا: إنكليزي - عربي (E-L) (بالعربية والإنجليزية)، بيروت: معهد الإنماء العربي، ج. 2، OCLC:1227681977، QID:Q130298867
• علي الدفاع (1983)، العلوم البحتة في الحضارة العربية والإسلامية، بيروت: مؤسسة الرسالة، OCLC:4770884310، QID:Q136655999
• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك: (إنجليزي - فرنسي - عربي)، قائمة إصدارات سلسلة المعاجم الموحدة (3) (بالعربية والإنجليزية والفرنسية)، تونس: مكتب تنسيق التعريب، 1990، OCLC:4769958475، QID:Q114600477
• أفرام بوروفسكي؛ جوناثان بوروين (1995)، معجم الرياضيات: إنكليزي - فرنسي - عربي، المعاجم الأكاديمية المتخصصة (بالعربية والإنجليزية والفرنسية)، ترجمة: علي مصطفى بن الأشهر، مراجعة: محمد الدبس، بيروت: أكاديميا إنترناشيونال، OCLC:822262215، QID:Q121833036
• أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
• روحي البعلبكي (2002)، المورد: قاموس عربي إنكليزي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 16)، بيروت: دار العلم للملايين، OCLC:277614149، QID:Q122381255
• منير البعلبكي (2005). المورد الأكبر: قاموس إنكليزي عربي حديث (بالعربية والإنجليزية). مراجعة: رمزي البعلبكي (ط. 1). بيروت: دار العلم للملايين. ISBN:978-9953-9021-6-6. OCLC:829330815. OL:13208957M. QID:Q107009855.
• محمد هيثم الخياط (2009). المعجم الطبي الموحد: إنكليزي - فرنسي - عربي (بالعربية والإنجليزية والفرنسية) (ط. الرابعة). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون، منظمة الصحة العالمية. ISBN:978-9953-86-482-2. OCLC:978161740. QID:Q113466993.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
• معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، 2019، OCLC:1413794243، QID:Q125363697

بالإنكليزية

• William Gardiner (1742), Tables of logarithms, for all numbers from 1 to 102100: and for the sines and tangents to every ten seconds of each degree in the quadrant ; as also, for the sines of the first 72 minutes to every single second ; with other useful and necessary tables (بالإنجليزية), London: Unknown, OCLC:642245176, QID:Q136678527
• Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis (بالإنجليزية), San Francisco: Berkeley Press, OCLC:562138688, QID:Q136654062
• Walter William Bryant (1907), A History of Astronomy (بالإنجليزية), London: Methuen Publishing, OCLC:1199155, QID:Q136670027
• Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms 1614 (بالإنجليزية), Cambridge: Cambridge University Press, OCLC:609235814, QID:Q136567702
• J. Aitchison; J. A. Brown (1957), The lognormal distribution: with special reference to its uses in economics, University of cambridge department of applied economics monograph (5) (بالإنجليزية), Cambridge: Cambridge University Press, OCLC:1484148935, QID:Q136734359
• Milton Abramowitz; Irene Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (بالإنجليزية). New York City: Dover Publications. ISBN:978-0-486-61272-0. LCCN:65012253. OCLC:429082. OL:21951925M. QID:Q120962780.
• A. T. Welford (1968). Fundamentals of skill. Methuen's manuals of modern psychology (بالإنجليزية). London. ISBN:978-0-416-03000-6. OCLC:1310750593. QID:Q136724620.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
• Jean Dieudonné (1969). Foundations Of Modern Analysis: Enlarged and corrected printing. Pure and Applied Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Academic Press. ISBN:978-0-12-215550-5. OCLC:576465. QID:Q136682189.
• Alan Baker (1975). Transcendental number theory (بالإنجليزية) (1st ed.). London: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-20461-3. LCCN:74082591. OCLC:870415620. QID:Q136670250.
• Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis (بالإنجليزية) (3rd ed.). Auckland: McGraw-Hill Education. ISBN:978-0-07-085613-4. LCCN:75017903. OCLC:1151073283. OL:18330726M. QID:Q136647820.
• Paul Halmos (1985). I want to be a mathematician: an automathography in three parts. MAA spectrum (بالإنجليزية). New York City: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-445-7. OCLC:895102446. QID:Q136652491.
• Richard Courant (1988). Differential and integral calculus. Wiley Classics Library (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York City: Wiley. Vol. 1. ISBN:978-0-471-17820-0. MR:1009558. OCLC:1405535243. QID:Q136686878.
• Umberto Eco (1989). The open work (بالإنجليزية). Translated by Annapaola Cancogni. Cambridge: Harvard University Press. ISBN:978-0-674-63975-1. OCLC:18291717. QID:Q136745434.
• John Simpson; Edmund Weiner, eds. (1989). The Oxford English Dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-861186-8. OCLC:611410378. OL:18318791M. QID:Q120829013.
• R. V. Ambartzumian (1990). Factorization calculus and geometric probability. Encyclopedia of mathematics and its applications (33) (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-34535-4. OCLC:853458489. QID:Q136730962.
• Theral O. Moore; Edwin H. Hadlock (1991). Complex analysis. Series in pure mathematics (9) (بالإنجليزية). Singapore Island: World Scientific. ISBN:978-981-4439-24-4. OCLC:1020624513. QID:Q136758425.
• Reinhold Remmert (1991). "Theory of Complex Functions". Graduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). Translated by Robert B. Burckel. New York City: Springer Science+Business Media (122). DOI:10.1007/978-1-4612-0939-3. ISBN:978-0-387-97195-7. ISSN:0072-5285. OCLC:800300774. OL:1857322M. QID:Q120969645.
• Leo Breiman (1992). Probability. Classics in Applied Mathematics (7) (بالإنجليزية). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. DOI:10.1137/1.9781611971286. ISBN:978-0-89871-296-4. OCLC:476463386. QID:Q105584125.
• Keith Devlin (1992). Sets, functions, and logic. Chapman & Hall mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). London: Chapman and Hall. ISBN:978-1-4899-2965-5. OCLC:655220819. QID:Q136682104.
• Hélène Esnault; Eckart Viehweg (1992). Lectures on Vanishing Theorems. Oberwolfach Seminars (20) (بالإنجليزية). Basel: Birkhäuser. DOI:10.1007/978-3-0348-8600-0. ISBN:978-3-7643-2822-1. MR:1193913. QID:Q56050589.
• J. C. Banerjee (1994). Encyclopaedic dictionary of psychological terms (بالإنجليزية). New Delhi: MD Publications. ISBN:978-81-85880-28-0. OCLC:33860167. QID:Q136730099.
• Eli Maor (1994). E: the story of a number (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-03390-7. JSTOR:10.2307/j.ctt7t8q5. OCLC:29310868. QID:Q136124705.
• Hans Mohr; Peter Schopfer (1995). Plant physiology (بالإنجليزية) (1st ed.). Berlin: Springer Berlin Heidelberg. DOI:10.1007/978-3-642-97570-7. ISBN:978-3-642-97570-7. OCLC:832324123. QID:Q136745371.
• Robert M. Corless; Gaston Gonnet; David Hare; David John Jeffrey; Donald Knuth (1996). "On the LambertW function". Advances in Computational Mathematics (بالإنجليزية). 5 (1): 329–359. DOI:10.1007/BF02124750. ISSN:1019-7168. MR:1414285. OCLC:10955820492. S2CID:29028411. Zbl:0863.65008. QID:Q55878644.
• Nicolas Bourbaki (1997). General Topology: Chapters 5–10 (بالإنجليزية). Berlin: Springer Science+Business Media. ISBN:978-3-540-64563-4. MR:1726872. OCLC:40551486. QID:Q136734772.
• Charles K. Chui (1997). Wavelets: A mathematical tool for signal processing. SIAM monographs on mathematical modeling and computation (بالإنجليزية). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN:978-0-89871-384-8. OCLC:36017296. QID:Q136720820.
• Jan Gullberg (1997). Mathematics: from the birth of numbers (بالإنجليزية). New York City: W. W. Norton & Company. ISBN:978-0-393-04002-9. LCCN:96013428. OCLC:34472146. QID:Q136609799.
• J. C. A. van der Lubbe (1997). Information theory (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-46760-5. LCCN:96009421. OCLC:1358665083. QID:Q136645106.
• Morris Kline (1998). Calculus: an intuitive and physical approach (بالإنجليزية) (2nd ed.). Mineola: Dover Publications. ISBN:978-0-486-13476-5. OCLC:830468776. QID:Q136682252.
• Donald Knuth (1998). The Art of Computer Programming: Sorting and Searching (بالإنجليزية) (3rd ed.). Addison-Wesley. Vol. 3. ISBN:978-0-13-348883-8. LCCN:67026020. OCLC:1437888322. QID:Q47756624.
• Stephen Bernstein; Ruth Bernstein (1999). Elements of statistics II. Schaum's outline series (بالإنجليزية). New York City: McGraw Hill Book Company. ISBN:978-0-07-134637-5. OCLC:41880331. QID:Q136592540.
• Jürgen Neukirch (1999). Algebraic Number Theory. Comprehensive Studies in Mathematics (322) (بالإنجليزية) (1st ed.). Berlin. DOI:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN:978-3-540-65399-8. MR:1697859. OCLC:41039802. Zbl:0956.11021. QID:Q55898607.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
• Alan Slomson (1999). An introduction to combinatorics (بالإنجليزية). Boca Raton: Chapman and Hall. ISBN:978-0-412-35370-3. OCLC:750563837. QID:Q136757292.
• George Matthews (2000). Human performance: Cognition, stress and individual differences (بالإنجليزية). Hove: Psychology Press. ISBN:978-0-415-04406-6. LCCN:99087641. OCLC:316539204. QID:Q136722808.
• Jean Mathieu; Julian Scott (2000). An Introduction to Turbulent Flow (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-1-316-52985-0. OCLC:999658456. QID:Q136735450.
• J. O. Bird (2001). Newnes engineering mathematics pocket book (بالإنجليزية). Oxford: George Newnes Ltd. DOI:10.4324/9780080497440. ISBN:978-0-7506-4992-6. OCLC:54893561. QID:Q136729418.
• Colin Rose; Murray D. Smith (2002). Mathematical statistics with Mathematicaby Rose, Colin. Springer Texts in Statistics (بالإنجليزية). New York City: Springer New York. ISBN:978-1-4612-2072-5. OCLC:853266549. QID:Q136744494.
• C. Sankaran (2002). Power quality (PDF). Electric power engineering series (بالإنجليزية). Boca Raton: CRC Press. ISBN:978-0-8493-1040-9. OCLC:47971424. QID:Q136716652.
• Michael T. Goodrich; Roberto Tamassia (2002). Algorithm design: foundations, analysis, and internet examples (بالإنجليزية). New York City: Wiley. ISBN:978-0-471-38365-9. LCCN:2002265982. OCLC:237893466. QID:Q136647882.
• Douglas A. Downing (2003). Algebra, the easy way (بالإنجليزية). Hauppauge: Barron's Educational Series. ISBN:978-0-7641-1972-9. LCCN:2002026009. OCLC:50072521. QID:Q136609278.
• Julian Havil (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton Science Library (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-09983-5. JSTOR:10.2307/j.ctt7sd75. OCLC:51046962. QID:Q136124439.
• Robert S. Siegler; John E. Opfer (2003). "The development of numerical estimation: evidence for multiple representations of numerical quantity". Psychological Science (بالإنجليزية). 14 (3): 237–243. DOI:10.1111/1467-9280.02438. ISSN:0956-7976. PMID:12741747. S2CID:9583202. QID:Q34196218.
• P. T. Bateman; Harold G. Diamond (2004). Analytic number theory: An introductory course. Monographs in number theory (1) (بالإنجليزية). New Jersey: World Scientific. ISBN:978-981-238-938-1. OCLC:57420268. QID:Q136750861.
• Hale Bradt (2004). Astronomy methods (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-53551-9. OCLC:773261677. QID:Q136723042.
• David Harel; Yishai Feldman (2004). Algorithmics: The spirit of computing (بالإنجليزية) (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN:978-0-321-11784-7. OCLC:1206278431. QID:Q136735767.
• Roy Stuart Freedman (2006). Introduction to Financial Technology. Complete technology guides for financial services (بالإنجليزية). Amsterdam: Elsevier, Academic Press. ISBN:978-0-08-046184-7. OCLC:74829421. QID:Q136654102.
• Sobhakar Ganguly (2005). Elements of Complex Analysis (بالإنجليزية). Kolkata: Academic Publishers. ISBN:978-81-87504-86-3. QID:Q136757405.
• Lynn Nadel (2005). Encyclopedia of cognitive science (بالإنجليزية). Chichester: Wiley. ISBN:978-0-333-79261-2. OCLC:50495155. QID:Q136735281.
• Serge Tabachnikov (2005). Geometry and Billiards. Student Mathematical Library (30) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. DOI:10.1090/STML/030. ISBN:978-0-8218-3919-5. LCCN:2005048181. OCLC:60796234. S2CID:117337589. QID:Q136744532.
• Ingo Wegener (2005). Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms (بالإنجليزية). Berlin: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/3-540-27477-4. ISBN:978-3-540-27477-3. OCLC:262677781. QID:Q136645058.
• Bruce Frey (2006). Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds (بالإنجليزية) (1st ed.). Sebastopol: O’Reilly Media. ISBN:978-0-596-10164-0. OCLC:70161327. QID:Q136716524.
• J. M. Muller (2006). Elementary functions: Algorithms and implementation (بالإنجليزية) (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. DOI:10.1007/B137928. ISBN:978-0-8176-4408-6. OCLC:262687505. QID:Q136687603.
• David F. Parkhurst (2006). Introduction to applied mathematics for environmental science (بالإنجليزية) (1st ed.). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/0-387-34228-1. ISBN:978-0-387-34228-3. OCLC:262690993. QID:Q136592600.
• Murray R. Spiegel; Robert E. Moyer (2006). College algebra. Schaum's outline series (بالإنجليزية) (3rd ed.). New York City: McGraw Hill Book Company. ISBN:978-0-07-170263-8. OCLC:609419066. QID:Q136670791.
• Douglas R. Stinson (2006). Cryptography: Theory and practice (PDF). CRC Press series on discrete mathematics and its applications (بالإنجليزية) (3rd ed.). Boca Raton: Chapman and Hall, CRC Press. ISBN:978-1-58488-508-5. OCLC:62615443. QID:Q136749400.
• Albert Tarantola (2006). Elements for physics: Quantities, qualities, and intrinsic theories (بالإنجليزية). Berlin: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-540-31107-2. ISBN:978-3-540-25302-0. OCLC:225373713. QID:Q136678781.
• Ivan Francis Wilde (2006). Lecture notes on complex analysis (بالإنجليزية). London: Imperial College Press. ISBN:978-1-86094-642-4. OCLC:70539524. QID:Q136757443.
• Vladimir Cherkassky; Filip Mulier (2007). Learning from data: concepts, theory, and methods (بالإنجليزية) (2nd ed.). Hoboken: Institute of Electrical and Electronics Engineers, Wiley. DOI:10.1002/9780470140529. ISBN:978-0-470-14052-9. OCLC:668993792. QID:Q136735308.
• Gilbert Helmberg (2007). Getting acquainted with fractals (بالإنجليزية). Berlin: De Gruyter. ISBN:978-3-11-019092-2. OCLC:77485980. QID:Q136747860.
• Rolf Nevanlinna; Veikko Paatero (2007). Introduction to complex analysis (بالإنجليزية) (2nd ed.). Providence: Chelsea Publishing Company, American Mathematical Society. Bibcode:1974aitc.book.....W. ISBN:978-0-8218-4399-4. OCLC:138341924. QID:Q136758471.
• Nicholas J. Higham (2008). Functions of Matrices: Theory and computation (بالإنجليزية). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN:978-0-89871-646-7. LCCN:2007061811. OCLC:185095770. OL:16365833M. QID:Q132467655.
• Ivan J. Tashev (2009). Sound capture and processing: practical approaches (بالإنجليزية). Chichester: Wiley. DOI:10.1002/9780470994443. ISBN:978-0-470-31983-3. LCCN:2009011987. OCLC:441875066. QID:Q136716732.
• David Wright (2009). Mathematics and music. Mathematical world (30) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. ISBN:978-0-8218-4873-9. OCLC:318191268. QID:Q136747987.
• E. Bruce Goldstein, ed. (2010). Encyclopedia of perception (بالإنجليزية). Thousand Oaks: SAGE Publishing. ISBN:978-1-4522-6615-2. OCLC:311057558. QID:Q136722737.
• Julien C. Sprott (2010). Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows (بالإنجليزية). New Jersey: World Scientific. Bibcode:2010ecas.book.....S. DOI:10.1142/7183. ISBN:978-981-283-882-7. OCLC:670430585. QID:Q136672339.
• John Stillwell (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (3rd ed.). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN:978-1-4419-6053-5. LCCN:2010931243. OCLC:663096669. OL:24847320M. Zbl:1207.01003. QID:Q56656820.
• Elizabeth Allen; Sophie Triantaphillidou (2011). The manual of photography (بالإنجليزية) (10th ed.). Oxford: Elsevier. ISBN:978-1-136-09109-4. OCLC:1034933692. QID:Q136647356.
• Enrique A. González-Velasco (2011). Journey through mathematics:: Creative episodes in its history (بالإنجليزية). New York City: Springer New York. DOI:10.1007/978-0-387-92154-9. ISBN:978-0-387-92154-9. LCCN:2011934482. OCLC:748515531. QID:Q136668195.
• Bruce Crauder; Benny Evans (2014). Functions and change: A modeling approach to college algebra (بالإنجليزية) (5th ed.). Belmont: Brooks/Cole Publishing. ISBN:978-1-133-36555-6. QID:Q136724589.

بالفرنسية

• Adnan Adıvar (1939), La science chez les Turcs ottomans (بالفرنسية), Paris: Maisonneuve, OCLC:11676376, QID:Q136658561

باللاتينية

• Ioanne Nepero (1614), Mirifici logarithmorum canonis descriptio: ejusque usus, in utraque trigonometria, ut etiam in omni logistica mathematica . explicatio (باللاتينية), Edimburgum: Ex officina Andreæ Hart, LCCN:04005707, OCLC:78264710, OL:32882027M, QID:Q107666651
• Ioanne Nepero; Henrici Briggii (1619), Mirifici logarithmorum canonis constructio; et eorum ad naturales ipsorum numeros habitudines (باللاتينية), Edimburgum: Ex officina Andreæ Hart, OCLC:81842530, QID:Q136659941

المعايير

بالإنكليزية

• Alan D. McNaught; Andrew Wilkinson (1997). Compendium of chemical terminology: IUPAC recommendations (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Wiley-Blackwell. ISBN:978-0-86542-684-9. OCLC:38236749. QID:Q136731711.
• The Chicago Manual of Style (بالإنجليزية) (15th ed.). Chicago: University of Chicago Press. Nov 2003. ISBN:978-0-226-10403-4. LCCN:2003001860. OCLC:999376662. OL:3672021M. QID:Q28959682.
• Quantities and units—Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (PDF) (بالإنجليزية) (1st ed.), International Organization for Standardization, 2009, OCLC:1292124710, QID:Q26711931

للاستزادة

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms (بالإنجليزية), Archived from the original on 2002-12-03, Retrieved 2010-10-12
• Glaisher, James Whitbread Lee (1911). "Logarithm". In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (بالإنجليزية) (11th ed.). Cambridge University Press. Vol. 16. pp. 868–77.

روابط خارجية

• ويستاين، إريك و. "لغارتم". ماثوورلد. (بالإنجليزية)
• الدوال الأسية واللغارتمية | الجبر (كل المحتوى) | أكاديمية خان. نسخة مؤرشفة من الأصل في 8 ديسمبر 2023. (بالإنجليزية)