مبرهنة أويلر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر هي كما يلي :

إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، إذن
حيث الدالة مؤشر أويلر

في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات.[1][2]

النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، ويمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل.

يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. على سبيل المثال: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد 7222 والذي يكافئ 7222 (mod 10)

≡ 74 × 55 + 2 ≡ (74)55 × 72 ≡ 155 × 72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

البرهان[عدل]

لتكن {(R = {x1, x2, ..., xφ(n نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.

البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي xi: بكلمات أخرى إذا كان (axjaxk (mod n فإن j = k.

ما يعني أن المجموعات R و {(aR = {ax1, ax2, ..., axφ(n

بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :

وبالتالي نستطيع التخلص من xi ونحصل على مبرهنة أويلر:

راجع أيضاً[عدل]

المصادر[عدل]

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة أويلر على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 30 أكتوبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "معلومات عن مبرهنة أويلر على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)



Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.