مبرهنة الأعداد الأولية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في نظرية الأعداد، مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية.[1][2] حيث صاغت في شكل رياضي مُحْكّم الفكرة القائلة بأن الأعداد الأولية تصبح نادرة كلما تقدمنا في خط الأعداد، عن طريق حساب معدل هذا التغير.

نص المبرهنة[عدل]

رسم بياني يقارن (π(x (باللون الأحمر) وx / ln x (باللون الأخضر) و(Li(x (باللون الأزرق)

نعرف لكل عدد حقيقي موجب ، الدالةَ المعدةَ للأعداد الأولية الأصغر من . مبرهنة الأعداد الأولية هي كالآتي:

بإستخدام الرمز يمكن التعبير عن هذه المبرهنة كالآتي:

حيث هو اللوغارتم الطبيعي ; بالنسبة ل , انظر مفهوم لاندو.

تاريخ البرهان[عدل]

حدس عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1797 أو 1798 أن تقترب من الدالة حيث و هم ثوابت غير محددة. اعتمد في ذلك على لوائح أقامهن العالمان أنتون فيلكل ويوري فيغا. في الطبعة الثانية لكتابه حول نظرية الأعداد نشرت عام 1808، أعطى ليجاندر حدسية أكثر دقة حيث A = 1 و B = −1.08366.

نشر عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف بين عام 1848 و1850 مقالين، حاول فيهما البرهان على هذه الحدسية. يُذكر عمله هذا نظرا لاحتوائه على دالة ζ(s) مطبقةً على أعداد حقيقية، مقتديا في ذلك بأعمالٍ لليونهارد أويلر قام بهن في عام 1737.

لم يستطع تشيبيشيف البرهان على هذه الحدسية بشكل كامل، ولكنه برهن على شكل ضعيف منها، هو إنه إذا كانت نهاية عندما يؤول إلى ما لا نهاية موجودة، فإن هذه النهاية تساوي حتما واحدا.

واحدة من أهم أعمال ريمان هي ورقته التي تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية التي نشرت عام 1859، بعنوان «حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين»، وهي الورقة الوحيدة التي كتبها في نظرية الأعداد. قدم ريمان أفكارًا جديدة في هذا الموضوع، خاصة أن توزيع الأعداد الأولية مرتبط ارتباطًا وثيقًا بأصفار دالة زيتا لريمان الموسعة تحليليًا لمتغير مركب. على وجه الخصوص، في هذه الورقة نشأت فكرة تطبيق طرق التحليل المركب لدراسة الدالة .

رغم أن تشيبيشيف لم يستطع البرهان على مبرهنة الأعداد الأولية، إلا أن أعماله كانت كافية من أجل البرهان على مسلمة بيرتراند والتي تنص على أنه يوجد على الأقل عدد أولي واحد بين عدد ما وضعفه كلما كان هذا العدد أكبر من اثنين.

جاء بالبرهان بشكل نهائي كل من العالمين الفرنسي جاك هادامار والبلجيكي شارل جون دي لا فالي بوسان، ممددين بذلك أفكارا أبدعهن عالم الرياضيات الألماني ريمان.

منهجية البرهان[عدل]

لائحة قيم (π(x و (x/ln(x و (li(x[عدل]

انظر الجدول:

x (π(x π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln x) (li(x) − π(x (x/π(x
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500
102 25 3.3 1.151 5.1 4.000
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1,229 143 1.132 17 8.137
105 9,592 906 1.104 38 10.425
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت قالب:OEIS link قالب:OEIS link قالب:OEIS link

نتائج[عدل]

احسن نتيجة تقريبية، هي تحسين للخطأ، معطاة بالصيغة التالية:

لقيم كبيرة ل ( هي دالة التكامل اللوغاريتمي).

مبرهنة الأعداد الأولية تعطي معلومات حول العدد الأولي النوني، بحيث:

كما يمكن استنتاج ان الاحتمالية كون عدد طبيعي n عشوائي عدد أولي هو حوالي .

حدست مبرهنة الأعداد الأولية بواسطة عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس عام 1792 عندما كان عمره 15 سنة وبواسطة أدريان ماري ليجاندر عام 1798. وتمت البرهنة عليها بواسطة جاك هادامار وشارل-جون عام 1896.

البرهان يستخدم بعض طرق التحليل العقدي، وبخاصة دالة زيتا.

بسبب العلاقة الموجودة بين دالة زيتا و, فرضية ريمان ذات اعتبار مهم مبرهنة الأعداد: إذا تم البرهنة عليها، ستعطي احسن تنبؤ بنسبة الخطأ الناتجة عن مبرهنة الأعداد الأولية

هلغ فون كوخ في 1901 بين، بكيفية أدق، إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، نسبة الخطأ تتحسن بالصيغة التالية:

مراجع[عدل]

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة الأعداد الأولية على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 29 يونيو 2019.
  2. ^ "معلومات عن مبرهنة الأعداد الأولية على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 5 يونيو 2016.