المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

مبرهنة الجذر النسبي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

تنص مبرهنة الجذر النسبي في الجبر على أن في كثيرة الحدود ذات المعاملات الصحيحة

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم و q عدد صحيح يقسم معامل .
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال .

البرهان[عدل]

نعرف كثيرة الحدود حيث أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في نحصل على

وبنقل للطرف الآخر و ضرب طرفي المعادلة في وأخذ كعامل مشترك نصل إلى

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح و لكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن تقسم a0. و بالمثل ، إذا نقلنا الحد القائد للطرف الآخر و بالضرب في نصل إلى

و بالمثل نستنتج أن q تقسم an .

مثال[عدل]

على سبيل المثال. جميع الجذور النسبية للمعادلة

يجب أن يكونوا من ضمن الأعداد

±

والذي يعطي 8 إجابات ممكنة:

يمكن إيجاد الحل منها بالعدديد من الطرق، على سبيل المثال طريقة هورنر.

مراجع[عدل]

روابط خارجية[عدل]