مبرهنة القيمة المتوسطة

  ميّز عن مبرهنة القيمة الوسطية.

مبرهنة القيمة المتوسطة
النوع	مبرهنة
الصيغة	$\exists c\in (a,b):f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$

لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

في علم الرياضيات، مبرهنة التزايدات المنتهية هي نتيجة لمبرهنة رول.

النص : لتكن f دالة عددية f : [a, b] → ℝ بحيث a <b، إذا كانت f متصلة على المجال المغلق [a, b] وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a, b[، فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي c ينتمي للمجال ]a, b[ بحيث :

$f^{\prime }(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

في الحقيقة، وتبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة $x\mapsto f(x)-{f(b)-f(a) \over b-a}\times (x-a)$ في a وb واحدة. وبتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ ونظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

لامساواة القيمة الوسطى

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a <b. إذا كان :

• f متصلة على النطاق المغلق [a, b]
• f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
• يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| <k،

فإن $\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right|\leq k$.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى ونضع |f'(x)| <k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. وهو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

$(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\,$

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من $\mathbb {R}$ في $\mathbb {R} ^{2}$ قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

و تحت هذه الصيغة، تستعمل المبرهنة للاستدلال على قاعدة اوبيتال.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة رول على الدالة

$h(t)=(f(b)-f(a))(g(t)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(t)-f(a))\,$

إن الدالة h متواصلة على [a ; b]، وقابلة للاشتقاق على ]a ; b[، وتساوي صفرا في a وb وبالتالي $h(a)=h(b)$. إذن يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث h'(c) = 0. وهو ما يؤدي إلى

$(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\,$

ولو كانت g' كذلك مخالفة للصفر على ]a ; b[ فإننا نستطيع أن نؤكد أن $g(b)\neq g(a)$ ويكفي أن نقسم بهما فنجد

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

مبرهنة القيمة الوسطى والتكاملات

يمكن إعادة صياغة مبرهنة القيمة الوسطى في شكل تكامل. لكل دالتين ذوات متغيّر حقيقي، u وv متصلتين على النطاق [a ; b]، حيث v مخالفة

للصفر على [a ; b]، يوجد عدد حقيقي c من ]a، b[ حيث

$\int _{a}^{b}u(t)v(t)dt=u(c)\int _{a}^{b}v(t)dt$.

و هذه الكتابة منطقية نظرا لأن الدوال المتصلة متكاملة محليا حسب ريمان.