متسلسلة تايلور وماكلورين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من مبرهنة تايلور)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنكليزية: Taylor series) هو عبارة عن متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.

متسلسلة تايلور المنتهية[عدل]

إذا اعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة {x}_{0}\! فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

 f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!

حيث T_{n}(x)\! يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

T_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\cdots +\frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

و يمكن اعتبار متعدد الحدود T_{n}(x)\, تقريبا للدالة f في النقطة x_{0}

متسلسلة تايلور اللامنتهية[عدل]

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء R_{n}(x)\! يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

T_{n}(x)=\sum^{\infin}_{k=0} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}

أو

T_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\cdots

متسلسلة ماكلورين[عدل]

إذا كانت x_{0} = 0\, في متسلسلة تايلور, يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

T_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0} \frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

أو

T_{n}(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}

تطبيقات متسلسلة تايلور[عدل]

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة[عدل]

الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى العقدي.
تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى العقدي.

فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين.[1] All these المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x.

الدالة الأسية:

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for all } x\!

اللوغاريتم الطبيعي:

\log(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1
\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1

متسلسلات هندسية محدودة:

\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!

متسلسلات هندسية لانهائية:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| < 1\!

متسلسلات هندسية لانهائية متنوعة:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| < 1 \text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| < 1\!
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x| < 1\!

الجذر التربيعي:

\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1

متسلسلة كثيرة حدود (متصمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| < 1 \text{ and all complex } \alpha\!
{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

دوال مثلثية:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for all } x\!
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
حيث Bs هي أعداد بيرنولي.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!
\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!

دوال زائدية:

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for all } x\!
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for all } x\!
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| < \frac{\pi}{2}\!
\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!
\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| < 1\!

مبرهنة تايلور[عدل]

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

 \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^N}{N!}.

انظر أيضا[عدل]

المصادر[عدل]

  1. ^ Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).