المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

مبرهنة ستيوارت

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
مبرهنة ستيوارت

في الهندسة الرياضية، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.

إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:

b^2 x + c^2 y = a (p^2 + x y) \,

البرهان[عدل]

بتطبيق قانون جيب التمام نجد أن:

 b^2 = p^2 + y^2 - 2py\cos\theta \,

و  c^2 = p^2 + x^2 - 2px\cos(180 - \theta ) \,

بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:

 b^2x = p^2x + y^2x - 2pxy\cos\theta \,

 c^2y = p^2y + x^2y - 2pxy\cos(180 - \theta ) \,

من خواص دالة الجيب التمام أن: \cos\alpha= -\cos{(\pi-\alpha)} \,

\Rightarrow \cos\theta = -\cos{(180-\theta )} \Rightarrow - 2pxy\cos\theta = + 2pxy\cos(180 - \theta )

و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي - 2pxy\cos\theta , - 2pxy\cos(180 - \theta) \, وسيبقى:

 b^2x + c^2y = p^2x + p^2y + y^2x + x^2y \,
\Rightarrow b^2x + c^2y = p^2( x + y ) + xy(y+x) \,


x+y = a \because

\Rightarrow b^2x + c^2y = p^2a + xya = a (p^2 + x y) \,

و هو المطلوب.

اقرأ أيضاً[عدل]