متجه وحدة

في الرياضيات يعرف متجه الوحدة (بالإنجليزية: Unit vector) في الفضاء الشعاعي المنظم على أنه متجه (أحياناً متجه بعدي) له طول 1 (وحدة طولية). يرمز إلى متجه الوحدة عادة باستخدام حرف بالحالة الصغيرة مع إشارة الزاوية (رمز رياضي) فوقه مثل القبعة. مثال: ${\hat {\imath }}$${\hat {\imath }}$.

الجداء الداخلي لمتجهي وحدة في الفضاء الإقليدي هو بشكل بسيط جيب تمام الزاوية الحاصلة بينهما. نستنتج هذا باستبدال قيم المتجهات بـ 1 في علاقة الجداء الداخلي الاتجاهي.

نظام الإحداثيات الديكارتية

في نظام الإحداثيات الديكارتية الثلاثي الأبعاد، يشار إلى متجه الوحدة على المحاور الثلاثة X, Y, Z باسم النواظم. وتعطى كما يلي:

$\mathbf {\hat {\boldsymbol {\imath }}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\jmath }}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {k}}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$$\mathbf {\hat {\boldsymbol {\imath }}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\jmath }}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {k}}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

في الإحداثيات الإسطوانية

متجهات الوحدة المخصصة للإحداثيات الإسطوانية هي: ${\boldsymbol {\hat {s}}}$${\boldsymbol {\hat {s}}}$ وهي المسافة من محور التناظر، ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ وهي الزاوية مقاسة بعكس عقارب الساعة من محور x الموجب، و${\boldsymbol {\hat {z}}}$${\boldsymbol {\hat {z}}}$.

يتم التحويل بين أسس الإحداثيات الإسطوانية المذكورة آنفاً وأسس الإحداثيات الديكارتية ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ كما يلي:

${\boldsymbol {\hat {s}}}$${\boldsymbol {\hat {s}}}$ = $\cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$$\cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ = $-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$$-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$

${\boldsymbol {\hat {z}}}={\boldsymbol {\hat {z}}}.$${\boldsymbol {\hat {z}}}={\boldsymbol {\hat {z}}}.$

الإحداثيات الكروية

متجهات الوحدة في نظام الإحداثيات الكروية هي ${\boldsymbol {\hat {r}}}$${\boldsymbol {\hat {r}}}$ المسافة القطرية من مركز الكرة، ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ الزاوية في المستوي x-y بعكس عقارب الساعة من المحور x، و ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ الزاوية من محور z الموجب. العلاقة بين هذه المتجهات مع الإحداثيات الديكارتية هي كالتالي:

${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$${\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$