متسلسلة تايلور

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Applications-development current.svg
هذه المقالة قيد التطوير. إذا كان لديك أي استفسار أو تساؤل، فضلًا ضعه في صفحة النقاش قبل إجراء أي تعديل عليها. مَن يقوم بتحريرها يظهر اسمه في تاريخ الصفحة.
مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية: Taylor series) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.


تعريف[عدل]

متسلسلة تايلور المنتهية[عدل]

إذا اعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

حيث يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

 أو

و يمكن اعتبار متعدد الحدود تقريبا للدالة f في النقطة

متسلسلة تايلور اللامنتهية[عدل]

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

أو

أمثلة[عدل]


تاريخ[عدل]

دوال تحليلية[عدل]


التقارب وتقريب الخطأ[عدل]

تعميم[عدل]


متسلسلة ماكلورين[عدل]

إذا كانت في متسلسلة تايلور, يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

أو

تطبيقات متسلسلة تايلور[عدل]

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسب متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرأ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة[عدل]

الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى العقدي.
تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى العقدي.

فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين.[1] All these المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x.

الدالة الأسية[عدل]

اللوغاريتم الطبيعي[عدل]

متسلسلات هندسية[عدل]

متسلسلات هندسية لانهائية:

متسلسلات هندسية[عدل]

الجذر التربيعي:

متسلسلة كثيرة حدود (متضمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

دوال مثلثية[عدل]

حيث Bs هي أعداد بيرنولي.

دوال زائدية[عدل]

حساب متسلسلة تايلور[عدل]

المثال الأول[عدل]


المثال الثاني[عدل]

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

مثال ثالث[عدل]


تعاريف لمتسلسلة تايلور[عدل]


متسلسلة تايلور بعدة متغيرات[عدل]

مثال[عدل]


مقارنة مع متسلسلة فورييه[عدل]


انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).