متسلسلة ذات حدين

في الرياضيات، متسلسلة ذات حدين هي متسلسلة تايلور في النقطة x = 0 للدالة f(x) = (1 + x) ^α حيث α ∈ C هو عدد عقدي ما.

${\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}$

أمثلة

• ‌ $(1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}$
• ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb$
• ‌ ${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+{\frac {7x^{5}}{256}}-\dotsb$
• ‌ ${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}+{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{3}}{6}}+{\frac {35x^{4}}{128}}+{\frac {63x^{5}}{256}}+\dotsb$

انظر أيضا

• ثنائي حد الكرخي-نيوتن