من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
متعددات الحدود لبيرنشتاين مقتربة من منحنى. في التحليل الرياضي ، متعددة الحدود لبيرنشتاين (بالإنجليزية : Bernstein polynomial ) هي متعددة للحدود تكتب على شكل تركيبة خطية لقواعد متعدد الحودد لبيرنشتاين .[ 1]
سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي سيرغي ناتانوفيتش بيرنشتين .
من بين الطرق اللائي يمكنن من تقييم متعددات الحدود بشكل مستقر عدديا على شكل برنشتاين ، هناك خوارزمية دوكاستلجو .
استُعملت متعددات برنشتاين لأول مرة من طرف برنشتاين ذاته في برهان إنشائي على مبرهنة ستون-فايرشتراس . مع ظهور الرسم بالحاسوب، صارت متعددات الحدود لبرنشتاين، مقصورة على المجال المحصور بين الصفر والواحد ([0،1])، مهمة جدا في شكل منحنيات بيزيه . قام بهذا العمل المهندسان الفرنسيان بيير بيزييه وبول دوكاستلجو ، أثناء عملهما في مجال صناعة السيارات خلال ستينات وسبعينات القرن العشرين.
b
ν
,
n
(
x
)
=
(
n
ν
)
x
ν
(
1
−
x
)
n
−
ν
,
ν
=
0
,
…
,
n
.
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.}
حيث
(
n
ν
)
{\displaystyle {n \choose \nu }}
المعامل الثنائي .
b
0
,
0
(
x
)
=
1
,
b
0
,
1
(
x
)
=
1
−
x
,
b
1
,
1
(
x
)
=
x
b
0
,
2
(
x
)
=
(
1
−
x
)
2
,
b
1
,
2
(
x
)
=
2
x
(
1
−
x
)
,
b
2
,
2
(
x
)
=
x
2
b
0
,
3
(
x
)
=
(
1
−
x
)
3
,
b
1
,
3
(
x
)
=
3
x
(
1
−
x
)
2
,
b
2
,
3
(
x
)
=
3
x
2
(
1
−
x
)
,
b
3
,
3
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}
b
2
,
5
(
x
)
=
(
5
2
)
x
2
(
1
−
x
)
3
=
10
x
2
(
1
−
x
)
3
.
{\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}
b
ν
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}
ν
<
0
{\displaystyle \nu <0}
ν
>
n
.
{\displaystyle \nu >n.}
b
ν
,
n
(
x
)
≥
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}
x
∈
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle x\in [0,\ 1].}
b
ν
,
n
(
1
−
x
)
=
b
n
−
ν
,
n
(
x
)
.
{\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}
b
ν
,
n
(
0
)
=
δ
ν
,
0
{\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}
b
ν
,
n
(
1
)
=
δ
ν
,
n
{\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}
δ
{\displaystyle \delta }
دلتا كرونكر :
δ
i
j
=
{
0
if
i
≠
j
,
1
if
i
=
j
.
{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}
[ عدل ] لتكن f دالة متصلة على المجال [0,1].
B
n
(
f
)
(
x
)
=
∑
ν
=
0
n
f
(
ν
n
)
b
ν
,
n
(
x
)
.
{\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}
[ عدل ] 
![{\displaystyle x\in [0,\ 1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f30fd6041cfde80fa42cd6d96c5b49a056a83c)
