متوسط حسابي هندسي

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي أو الوسط الحسابي الهندسي[1] (بالإنجليزية: Arithmetic–geometric mean) لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:
نسمي x و y :a0 و g0:
ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين (an) و (gn) كـ:
حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). تتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ M(x, y)، أو أحيانًا بـ agm(x, y).
يستخدم الوسط الحسابي الهندسي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب الثابت π.
الأمثلة
[عدل]لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ a0 = 24 و g0 = 6 ، نكرر ما يلي:
تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:
n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416 407 864 998 738 178 455 042... 3 13.458 203 932 499 369 089 227 521... 13.458 139 030 990 984 877 207 090... 4 13.458 171 481 745 176 983 217 305... 13.458 171 481 706 053 858 316 334... 5 13.458 171 481 725 615 420 766 820... 13.458 171 481 725 615 420 766 806...
يتضاعف عدد الأرقام an و gn المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:
- 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.[2]
نبذة تاريخية
[عدل]ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. وحلّل خصائصه غاوس.
خصائص
[عدل]المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي. ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى n > 0، (gn) هي متتالية متزايدة، (an) هي متتالية متناقصة، و gn ≤ M(x, y) ≤ an. هذه هي متباينة قطعية إذا كان x ≠ y.
وبالتالي فإن M(x, y) هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.
إذا كان r ≥ 0، فإن M(rx,ry) = r M(x,y).
هناك الشكل التكاملي لـ M(x,y):
حيث K(k) هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول:
في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.
مراجع
[عدل]- ^ موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 37، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
- ^ agm(24, 6) at ولفرام ألفا نسخة محفوظة 2020-04-09 على موقع واي باك مشين.