متوسط حسابي هندسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي (بالإنجليزية: Arithmetic–geometric mean)‏ لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي x و y :a0 و g0:

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين (an) و (gn) كـ:

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ M(x, y)، أو أحيانًا بـ agm(x, y).

يستخدم الوسط الهندسي الحسابي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب الثابت π.

الأمثلة[عدل]

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ a0 = 24 و g0 = 6 ، نكرر ما يلي:

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3 13.458 203 932 499 369 089 227 521... 13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4 13.458 171 481 745 176 983 217 305... 13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5 13.458 171 481 725 615 420 766 820... 13.458 171 481 725 615 420 766 806...

يتضاعف عدد الأرقام an و gn المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

13.4581714817256154207668131569743992430538388544.[1]

نبذة تاريخية[عدل]

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. تم تحليل خصائصه من قبل غاوس.

خصائص[عدل]

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى n > 0، (gn) هي متتالية متزايدة، (an) هي متتالية متناقصة، و gnM(xy) ≤ an. هذه هي متباينة قطعية إذا كان xy.

وبالتالي فإن M(x, y) هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان r ≥ 0، فإن M(rx,ry) = r M(x,y).

هناك الشكل التكاملي لـ M(x,y):

حيث K(k) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول:

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.

مراجع[عدل]