مثالي (نظرية الحلقات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في نظرية الحلقات، فرعا من الجبر التجريدي، مثالي (بالإنكليزية: Ideal) هو مجموعة جزئية خاصة من حلقة تحقق عددا من الشروط. يعمم المثاليون مفهوم بعض المجموعات الجزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة كمجموعة الأعداد الزوجية أو مجموعة مضاعفات العدد 3. جمع وطرح الأعداد الزوجية يعطيان دائما عددا زوجيا، وضرب عدد زوجي في عدد صحيح ما يعطي دائما عددا زوجيا. هذان الخاصيتان المتمثلتان في الانغلاق والمص هما اللتان تعرفان مفهوم المثالي.

التاريخ[عدل]

أول من اقترح مفهوم المثاليين هو ريتشارد ديدكايند. ولقد كان ذلك عام 1876 خلال نشره للطبعة الثالثة لكتابه قراءات حول نظرية الأعداد.

تعريفات[عدل]

نظرا إلى حلقة (R,+,\cdot)، ليكن (R,+) الزمرة الجمعية المرتبطة بها. تدعى مجموعة جزئية I مثاليا من جهتين (أو ببساطة مثاليا) ل R إذا كانت زمرة جمعية جزئية من R "تمتص الضرب في عناصر R". بشكل رسمي، يكون I مثاليا من R إذا توفر ما يلي:

  1. (I,+) هو زمرة جزئية من (R,+)
  2. \forall x \in I, \forall r \in R :\quad x \cdot r \in I
  3. \forall x \in I, \forall r \in R : \quad r \cdot x \in I.

خصائص[عدل]

أمثلة[عدل]

  • الأعداد الزوجية تشكل مثاليا للحلقة \mathbb{Z}.

أنواع المثاليين[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

Midori Extension.svg
هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.