مثلث زائدي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مثلث زائدي مرسوم على سطح سرجي الشكل

في الهندسة الزائدية، المثلث الزائدي (بالإنجليزية: Hyperbolic triangle)‏ هو مثلث مرسوم على المستوي الزائدي. يتكون من ثلاث قطع مستقيمة تسمى «الجوانب» أو «الحواف» وثلاث نقاط تسمى الزوايا أو الرؤوس.

تمامًا كما في حالة الفضاء الإقليدي، توجد دائمًا ثلاث نقاط من الفضاء الزائدي [الإنجليزية] ذات بعد اختياري على نفس المستوي. ومن ثم فإن المثلثات المستوية الزائدية تصف أيضًا المثلثات الممكنة في أي بُعد أعلى للفضاءات الزائدية.

تعريف[عدل]

يتكون المثلث الزائدي من ثلاث نقاط غير استقامية وثلاثة قطع مستقيمة بينها.[1]

خصائص[عدل]

تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الإقليدية (المستوية):

تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

  • مثلثان لهما نفس مجموع الزاوية متساويان في المساحة
  • يوجد حد أعلى لمساحة المثلثات.
  • يوجد حد أعلى لنصف قطر الدائرة المحاطة.
  • يتطابق المثلثان إذا وفقط إذا كانا يتطابقان مع جداء منته لانعكاسات خطية.
  • مثلثان متساويان في الزوايا المتناظرة متطابقان (أي أن جميع المثلثات المتشابهة متطابقة).

للمثلثات الزائدية بعض الخصائص التي تتعارض مع خصائص المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

  • مجموع زاوية المثلث أقل من 180 درجة.
  • تتناسب مساحة المثلث مع نقص مجموع زواياه عن 180 درجة.

تحتوي المثلثات الزائدية أيضًا على بعض الخصائص غير الموجودة في الهندسات الأخرى:

  • لا تحتوي بعض المثلثات الزائدية على دائرة محيطة، فهذه هي الحالة عندما يكون أحد رؤوسها على الأقل نقطة مثالية أو عندما تقع جميع رؤوسها على دائرة لانهائية أو على دائرة فائقة أحادي الجنب.
  • المثلثات الزائدية نحيفة، وهناك مسافة قصوى δ من نقطة على حافة إلى أحد الحافتين الأخريين. أدى هذا المبدأ إلى ظهور الفضاء الزائدي δ.

حساب المثلثات[عدل]

في جميع الصيغ المذكورة أسفل الجوانب a و b و c يجب قياسها بالطول المطلق، بحيث يكون الانحناء الغاوسي K للمستوي يساوي -1. بمعنى آخر، من المفترض أن تكون الكمية R في الفقرة أعلاه مساوية لـ 1.

تعتمد الصيغ المثلثية للمثلثات الزائدية على الدوال الزائدية sinh و cosh و tanh.

حساب المثلثات القائمة[عدل]

إذا كانت C عبارة عن زاوية قائمة، فإن:

  • جيب الزاوية A هو الجيب الزائدي للجانب المقابل للزاوية مقسومًا على الجيب الزائدي للوتر.
sin A = sinh(الجانب المقابل)/sinh(الوتر) = sinh a/sinh c
cos A = tanh(الجانب المجاور)/tanh(الوتر) = tanh b/tanh c
.
  • ظل الزاوية A هو الظل الزائدي للساق المقابل مقسومًا على الجيب الزائدي للجانب المجاور.
tan A = tanh(الجانب المقابل)/tanh(الجانب المجاور) = tanh a/tanh b
.
cosh(الجانب المجاور) = cos B/sin A
  • جيب التمام الزائدي للوتر هو جداء جيوب تمام الساقين.
cosh(الوتر) = cosh(المجاور) cosh(المقابل)
  • جيب التمام الزائدي للوتر هو أيضًا جداء جيوب تمام الزوايا مقسومة على جداء جيوبهم.[2]
cosh(الوتر) = cos A cos B/sin A sin B =cot A cot B

العلاقات بين الزوايا[عدل]

لدينا أيضًا المعادلات التالية:[3]

المساحة[عدل]

مساحة المثلث القائم هي:

أيضًا

[بحاجة لمصدر][4]

مثلث متساوي الأضلاع[عدل]

تعطي معادلات المثلثية للمثلثات القائمة أيضًا العلاقات بين الأضلاع s والزوايا A لمثلث متساوي الأضلاع.

العلاقات هي:

حساب المثلثات العام[عدل]

سواء كانت C زاوية قائمة أم لا، فإن العلاقات التالية تبقى ثابتة: القانون الزائدي لجيب التمام هو كما يلي:

مبرهنتها الثنائية هي:

هناك أيضًا قانون الجيب:

وصيغة الأجزاء الأربعة:

التي هي مشتقة بنفس طريقة الصيغة المشابهة في حساب المثلثات الكروية.

مراجع[عدل]

  1. ^ Stothers, Wilson (2000)، Hyperbolic geometry، جامعة غلاسكو، مؤرشف من الأصل في 06 سبتمبر 2012, interactive instructional website
  2. ^ Martin, George E. (1998)، The foundations of geometry and the non-Euclidean plane (ط. Corrected 4. print.)، New York, NY: Springer، ص. 433، ISBN 0-387-90694-0، مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2020.
  3. ^ Smogorzhevski, A.S. (1982)، Lobachevskian geometry، Moscow 1982: Mir Publishers، ص. 63.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة CS1: location (link)
  4. ^ "Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths"، ستاك إكستشينج Mathematics، مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2020، اطلع عليه بتاريخ 11 أكتوبر 2015.