المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

مثلث متساوي الأضلاع

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
مثلث متساوي الأضلاع.

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle) هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس و قياس كل منهما يساوي ستين درجة.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسية[عدل]

طول الارتفاع[عدل]

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

a^2=AH^2 + (\frac{a}{2})^2

\Rightarrow  AH^2 =\frac{3{a}^2}{4}

 \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}

وهو المطلوب.

المساحة[عدل]

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

Area =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½ \frac{a\sqrt{3}}{2} × a \,

\Leftarrow مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

وهو المطلوب.

مبرهنات مهمة[عدل]

خصائص أخرى[عدل]

مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a=b=c)، وقياسات زواياه متساوية (\alpha = \beta =\gamma=60^\circ) وارتفاعاته متساوية (ha=hb=hc).

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:

  • طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو: R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2h}{3}
  • طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو: r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{R}{2}=\frac{h}{3}
  • حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
  • المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
  • نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: \frac{\pi}{3\sqrt{3}}، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
  • نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي \frac{1}{12\sqrt{3}}، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسي[عدل]

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif

انظر أيضاً[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).