مثلث متساوي الأضلاع

مُثلَّث متساوي الأضلاع
النوع	مُثلَّث، مُضلَّع منتظَم
الأضلاع والرؤوس	3
رمز شليفلي	{3}
مخطط كوكستر ودنكين
زمرة التناظر	$\mathrm {D} _{3}$
المساحة	${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
الزاوية (درجة)	60°

المُثلَّث متساوي الأضلاع مثلثٌ تساوت أطوال أضلاعه الثلاثة، زواياه الثلاثة متساوي أيضًا ومقاس كلٍ منها 60 درجة. المثلث متساوي الأضلاع مُضلَّع منتظَم، ويمكن أن يُسمَّى لذلك المُثلَّث المنتظَم وهو حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين.

التعريف والتصنيف

يُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المثلث متساوي الأضلاع بأنه مثلث أطوال أضلاعه متساوية، وتعرَِف موسوعة الكويت العلمية المثلث تعريفًا ومشابهًا، وتزيد عليه بأن زواياه تكون متساوية، ومقاس كل منها 60 درجة.

المثلث متساوي الأضلاع حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين، لأن فيه ضلعين متساويا الطول، ويمكن أن يدعى أي من أضلاعه قاعدةً له. المثلث متساوي الأضلاع من المثلثات المائلات، فليس فيه أي زاوية قائمة، وهو مثلث حاد الزوايا، لأن مقاس زواياه الثلاثة أقل من 90 درجة.

• 
  تصنيف المثلثات حسب أطوال أضلاعها ومقاسات زواياها بمخطط أويلر، المثلث متساوي الأضلاع باللون الأحمر.
• 
  تصنيف المثلثات بمخطط فن، ويمكن تبين المثلث متساوي الأضلاع ضمن مجموعتي مائلات الزوايا ومتساويات الساقين

الخواص

لا يتغير مظهر المثلث متساوي الأضلاع إذا أُدير ثلث دورة (بالأعلى)، ولا يتغير مظهره إذا قُلِب طرفاه بالنسبة لارتفاعه لأن له انعكاسًا مرآتيًا بالنسبة لارتفاعاته (بالأسفل).

تتأثر خواص المثلث متساوي الأضلاع بتساوي أطوال أضلاعه ومقاس زواياه. فيساوي محيطه مثلًا جُداء طول أحد أضلاع بثلاثة. المثلث متساوي الأضلاع مُضلَّع منتظَم لأن مقاس كل الزوايا الداخلية يساوي 60°. قواطع تشيفا في المثلث متساوي الأضلاع كلها متساوية الطول، وهذا يعني أن لمتوسط الأضلاع ولمنصف الزوايا فيه الطول نفسه، وقد تكون هذه الخطوط هي الارتفاعات أيضًا لو اختيرت القاعدة اختيارًا ملائمًا لا يتغير مظهر المثلث متساوي الأضلاع إذا قُلِب طرفاه بالنسبة لارتفاعه فوضع كل منهما مكان الآخر، لأن للمثلث انعكاسًا مرآتيًا بالنسبة لارتفاعاته، ولا يتغير مظهره أيضًا إذا أُدير ثلث دورة لأن له الزمرة ثنائية الوجه D₃ من المرتبة 6.

المساحة

مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $a$ هي:

$$T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.$$

يُمكن أن تُشتق هذه العلاقة من المثلث متساوي الساقين اعتمادًا على مبرهنة فيثاغورس، فيحسب طول الارتفاع $h$ بدلالة طول أحد الساقين $a$ بالعلاقة: $$h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$$

ثُمَّ تُحسَب المساحة بأنها نصف جُداء القاعدة بالارتفاع.

تنص إحدى تنويعات متباينة المحيط الثابت للمثلثات بأن المثلث الأكبر مساحةً من بين كل المثلثات التي يكون محطيها معروفًا هو مثلثٌ متساوي الأضلاع. وهذا يعني أن العلاقة التالية التي تربط بين محيط المثلث $p$ ومساحته $T$ صحيحة فقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع:

$$p^{2}=12{\sqrt {3}}T$$

العلاقة مع الدوائر

الدائرة المحاطة بالمثلث متساوي الأضلاع بالأخضر والمحيطة بالأزرق

يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الأضلاع: $$R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$$

ويساوي نصف قطر الدائرة المُحاطة بالمثلث متساوي الأضلاع نصف قطر الدائرة المحيطة، أي:

$$r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$$

تنص مبرهنة أويلر بأن المسافة بين الدائرة المحيطة بالمُثلَّث والدائرة المُحاط بها $t$ تُحسَب بالعلاقة:

$$t^{2}=R(R-2r)$$

ويؤدي هذا بالتبعية إلى أن للمثلث متساوي الأضلاع أصغر نسبة ممكنة بين قطري الدائرتين المحيطة بأي مُثلَّث والمُحاط به، وهي:

$$R\geq 2r.$$

برهان هندسي لمبرهنة بومبيو، مثلث بومبيو هو $\triangle PCP'$.

مبرهنة فان شوتين: $|PA|=|PB|+|PC|$

تنص مبرهنة بومبيو بأنه إذا كان $P$ نقطة عشوائية في المستوي لا تقع على الدائرة المحطية بالمُلَّثث $ABC$، فإن هناك مُثلَّثًا أطوال أضلاعه $PA$ و$PB$ و$PC$ تستوفي متباينة المثلث، وإذا وقعت النقطة على الدائرة المحيطة، فإن مجموعة الضلعين الأصغرين يساوي الضلع الثالث الأكبر، ويتردَّى المثلث إلى خط مستقيم، وهذه الحالة نفسها التي تتناولها مبرهنة فان شوتين.

تطرح إحدى مسائل الرزم سؤالًا عن أصغر مثلث متساوي أضلاع ممكن أن تملأه $n$ دائرة وحدة، وما تزال هذه المسألة غير محلولة.

خواص رياضية أخرى

إثبات هندسي لمبرهنة فيفياني.

تنصُّ مبرهنة مورلي بأن نقاط التقاطع الثلاثة لمُثلِّثات الزوايا المتجاورة في مُثلَّث تُنتِج مثلثًا متساوي الأضلاع يُسمَّى مُثلَّث مورلي.

تنص مبرهنة فيفياني على أنه إذا أُسقطِت نقطة ما داخل مثلث متساوي الأضلاع إلى أضلاع المثلث، وكان بُعدها عن الأضلاع الثلاثة: $d$ و$e$ و$f$ على الترتيب، فإن مجموع هذه الأطوال مساوٍ لارتفاع المُثلَّث، أي:

$$d+e+f=h$$

يمكن أن يكون المثلث متساوي الأضلاع مثلثًا صحيحًا، أي تكون أطوال أضلاع أعدادًا صحيحة، وهو المثلث حاد الزوايا الوحيد الذي يُشابه مثلثه القدمي الارتفاعي، وهو مثلث مُنشأ داخل مثلث أصل آخر، تكون رؤوسه أقدام ارتفاعات المثلث الأصل.، وهو أيضًا المثلث الوحيد الذي يكون قطع شتاينر الناقص المُحاط الخاص به دائرة تنطبق على دائرته المحاطة. للمثلث متساوي الأضلاع أكبر مساحة من بين كل المُثلَّثات التي تُحاط بدائرة ما، وأصغر مساحة من بين كل المُثلَّثات التي تحيط بدائرة ما، وهو المضلع المنتظَم الوحيد، إلى جانب المُربَّع، الذي يُمكِن أن يُحاط بأي مُضلَّغ منتظَم آخر.

• 
  مُثلَّث مورلي $\triangle XYZ$ يُنشأ بالوصل بين النقاط الثلاثة الناتجة عن تقاطع مُثلِّثات الزوايا في مُثلَّث.
• 
  وفق مبرهنة فيفياني أيًا كان موقع النقطة $D$ داخل المثلث متساوي الأضلاع $\triangle ABC$ فإن: $h=l+m+n\,$

الإنشاء

المثلث الأزرق متساوي الأضلاع أنشئ بالمسطرة والفرجار بطريقة إقليدس.

قدَّم إقليدس في كتابه الأصول طريقة لإنشاء المثلث متساوي الأضلاع: تُرسَم دائرة قطرها معلوم بالفرجار، ثُمَّ يثبَّت الفرجار على نقطة على محطيها وترسم دائرة ثانية لها نصف القطر نفسه، تتقاطع الدائرتان في نقطتين، تُختار إحداهما وتوصَل مع مركزي الدائرتين، فيتشكل ضلعان من أضلاع المُثلَّث متساوي الأضلاع، ثُمَّ يوصل مركزا الدائرتين فيتشكل الضلع الثالث.

يُمكن بالمثل البدء بأي قطعة مستقيمة على اعتبار أنها أحد الأضلاع؛ يوضع رأس الفرجار على أحد طرفي القطعة والذي سيكون رأس المثلث الأول، ثُمَّ يُرسم قوس من تلك النقطة إلى الطرف الآخر من القطعة المستقيمة؛ يكرر ذلك على الطرف الآخر من القطعة المستقيمة، والذي سيكون الرأس الثاني للمثلث، يتقاطع القوسان المرسومان في نقطة ستكون الرأس الثالث للمثلث الذي يُنشأ بوصل الرأس الثالث، الذي يتقاطع فيه القوسان، مع كل طرف من أطراف القطعة المستقيمة.

إذا أنشئت ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع على أضلاع مثلث ما، مثلث على كل ضلع، سواءً أتجهت لداخل المثلث أو لخارجه، فإن مراكز هذه المثلثات تُشكِّل رؤوسًا لمثلث متساوي الأضلاع حسب مبرهنة نابليون.

• 
  إنشاء إقليدس للمثلث متساوي الأضلاع بالمسطرة والفرجار بطريقة إقليدس.
• 
  إنشاء بالمسطرة والفرجار لمثلث متساوي الأضلاع محاط بدائرة.
• 
  مبرهنة نابليون: أنشئت المثلثات متساوية الأضلاع نحو الخارج، المثلث الناتج $\triangle LMN$ بالأخضر.

التطبيقات

في الهندسة الرياضية

التبليط بمثلثات متساوية الأضلاع: تلتقي رؤوس 6 منها عند كل نقطة حمراء.

مثلث سيربنسكي

مثلث رولو: مُثلَّث دائري أضلاعه أقواس متساوية الطول.

يُصنَّف التبليط بالمثلث متساوي الأضلاع ضمن عمليات تبليط المستوي بالمُضلَّعات المنتظمة، ويمكن لستة مثلثات متساوي الأضلاع تلتقي في رأس واحد أن تكون نمط التبليط الرئيس، التبليط بالمُسدَّسات ثنوي لهذا التبليط. التبليطات التالية نصف منتظَمة ويكون أحد عناصرها المثلث متساوي الأضلاع: تبليط مُسدَّسي مبتور وتبليط مُسدَّسي مُثلَّثي مربعي وتبليط مربَّعي أفطس وتبليط مسدسي مثلثي وتبليط مُسدَّسي أفطس. تُنشأ أغراض أخرى بمثلثات متساوية الأضلاع، مثل مثلث سيربنسكي، وهو من الكُسسوريات، يولَّد بتقسيم مثلث متساوي الأضلاع عوديًا إلى مثلثات أصغر، ومنها أيضًا مثلث رولو، وهو مُثلَّث دائري يُنشَأ من مثلث متساوي الأضلاع بتقويس أضلاعه.

دلتاويات الوجوه المُحدَّبة الثمانية. الصف الأول من اليسار: رباعي الوجوه المنتظَم، ثنائي الهرم المُثلَّث، ثماني الوجوه المنتظَم، ثنائي الهرم المُربَّع المُطال . الصف الثاني: ثنائي الهرم المُربَّع المُطال بالبرم، عشروني الوجوه المنتظَم، الموشور المُثلَّث ثلاثي التعزيز، الإسفيناني الثنائي الأفطس.

قد تُشكِّل المثلثات متساوية الأضلاع وجوهًا لمتعدِّدات الوجوه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يُسمَّى المُتعدِّد الذي تكون وجوهه كلها مثلثات متساوية الأضلاع بدلتاوي الوجوه، ويوجد 8 دلتاويات وجوه تامة التحدُّب 3 منها من المجسمات الأفلاطونية: رباعي وجوه منتظَم وثماني وجوه منتظَم وعشروني وجوه منتظَم و5 من مُجسَّمات جنسون: ثنائي هرم مُثلَّث وثنائي هرم مُربَّع مُطال وثنائي هرم مُربَّع مُطال بالبرم موشور مُثلَّث ثلاثي التعزيز وإسفيناني ثنائي أفطس. يُلفت النظر أيضًا إلى أن المثلثات متساوية الأضلاع وجوه لمُجسَّمات جنسون كلها، وعددها 92 مُجسمَّا.

للمواشير التخالفية، وهي عائلة من متعددات الوجوه، وجوه جانبية على هيئة مثلثات متناوبة، إذا كان الموشور التخالفي مُحتتنًا، فإن قاعدته ستكون مضلعًا منتظمًا وجوهه الجانبية كلها مثلثات متساوية الأضلاع.

لأن المثلث متساوي الأضلاع مُضلَّع مُنتظَم، فهو مُبسَّط في الفضاء ثنائي الأبعاد.

في الحياة العملية

إشارة أعط الأفضلية للغير.

إشارة تحذير من وجود أخطار

المثلث متساوي الأضلاع عنصر رئيس في إشارات المرور.

يظهر المثلث متساوي الأضلاع ظهورًا متكررًا في الأعمال التي يصنعها البشر، خاصةً في العمارة، مثل قاعدة تصميم قوس البوابة في مدينة سانت لويس بالولايات المتحدة، التي تتميز بمقطع مثلث متساوي الأضلاع، ويظهر في الثقافة الشعبية أيضًا مثلًا في الأنماط الهندسية على بيض فيجريفيل. كما يظهر في أعلام بعض الدول مثل علم الفلبين وعلم نيكاراغوا. يُستعمل المثلث متساوي الأضلاع أيضًا في إشارات المرور، ويدل المثلث الأحمر متساوي الأضلاع الذي يكون رأسه للأعلى على تحذير في كثيرٍ من البلدان، في حين يدل على إشارة أعط الأفضلية لو كان رأسه إلى الأسفل وقاعدته إلى الأعلى.

يظهر المثلث متساوي الأضلاع في الكيمياء الفراغية خاصة عند التعامل البنية جزيئية المسماة بالبنية الجزيئية المستوية الثلاثية والتي توصف بأنها فيها ذرة واحدة في المركز تتصل مع ثلاث ذرات أخرى.

• 
  نموذج ثلاثي الأبعاد لقوس البوابة، ويمكن تبين مقطع قاعدته: مثلث متساوي الأضلاع.
• 
  أنماط هندسية فيها مثلث متساوي الأضلاع على بيض فيجريفيل.
• 
  علم نيكارغوا، ويظهر المثلث متساوي الأضلاع في تصميم الشعار بمنتصف الشريط الأبيض
• 
  علم الفلبين، يظهر المثلث متساوي الأضلاع بلون على الجانب الأيسر من التصميم.
• 
  نموذج هيكلي لبنية جزيئية ثلاثية مستوية في الحالة المثالية.

انظر أيضًا

• مُثلَّث
• مُضلَّع مُنتظَم
• دوائر مالفاتي
• إحداثيات ثلاثية الخطية

المراجع

فهرس الإحالات

المنشورات

بالعربية

بالإنجليزية

معلومات المنشورات كاملة

المقالات المُحكَّمة

• Martin Berman (1971). "Regular-faced convex polyhedra". Journal of the Franklin Institute (بالإنجليزية). 291 (5): 329–352. DOI:10.1016/0016-0032(71)90071-8. ISSN:0016-0032. MR:0290245. OCLC:4924207364. QID:Q134974397.
• Leon Bankoff; Jack Garfunkel (1973). "The heptagonal triangle". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 46 (1): 7–19. DOI:10.2307/2688574. ISSN:0025-570X. OCLC:5555825089. Zbl:0263.50005. QID:Q105673239.
• Branko Grünbaum; Geoffrey C. Shephard (1977). "Tilings by Regular Polygons". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 50 (5): 227–247. DOI:10.2307/2689529. ISSN:0025-570X. JSTOR:2689529. MR:1567647. OCLC:6067054319. Zbl:0385.51006. QID:Q56029312.
• Charles W. Trigg (1978). "An Infinite Class of Deltahedra". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 51 (1): 55–57. DOI:10.1080/0025570X.1978.11976675. ISSN:0025-570X. OCLC:5556029250. QID:Q136324241.
• G. D. Chakerian (1979). "A Distorted View of Geometry". Mathematical plums. Dolciani mathematical expositions (بالإنجليزية): 130–150. ISBN:978-1-4704-5716-7. QID:Q137661439.
• Michael W. Riley; David J. Cochran; John L. Ballard (1982). "An Investigation of Preferred Shapes for Warning Labels". Human Factors (بالإنجليزية). 24 (6): 737–742. DOI:10.1177/001872088202400610. ISSN:0018-7208. OCLC:6876325574. S2CID:109362577. QID:Q60357670.
• J.B.M. Melissen; P.C. Schuur (1995). "Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle". Discrete Mathematics (بالإنجليزية). 145 (1–3): 333–342. DOI:10.1016/0012-365X(95)90139-C. ISSN:0012-365X. MR:1356610. OCLC:4923327248. Zbl:0836.52006. QID:Q56169159.
• Zvonko Čerin (2004). "The Vertex-Midpoint-Centroid Triangles" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 4: 97–109. ISSN:1534-1178. MR:2081773. S2CID:125764034. Zbl:1077.51004. QID:Q130243400.
• Dragutin Svrtan; Darko Veljan (2012). "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 12: 197–209. ISSN:1534-1178. QID:Q137661204.
• Takashi Horiyama; Jin-ichi Itoh; Naoki Katoh; Yuki Kobayashi; Chie Nara (2016). "Continuous Folding of Regular Dodecahedra". Discrete and Computational Geometry and Graphs: 18th Japan Conference, JCDCGG 2015, Kyoto, Japan, September 14-16, 2015, Revised Selected Papers. Lecture Notes in Computer Science (بالإنجليزية): 120–131. DOI:10.1007/978-3-319-48532-4_11. ISBN:978-3-319-48531-7. OCLC:10176754379. QID:Q137684372.

الكتب

بالعربية

• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• معروف عبد الرحمن سمحان؛ نجلاء بن عبد العزيز التويجري؛ ليانا توبان (2019). رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد. الرياض: مكتبة العبيكان. ISBN:978-603-503-866-9. OCLC:10583568330. QID:Q137373887.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221

بالإنجليزية

• Dionysius Lardner (1840), A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts, The Cabinet Cyclopædia (71) (بالإنجليزية), London: Longman, OCLC:5213295, QID:Q137602203
• Daniel McMullin; Albert Charles Parkinson (1936), An Introduction to Engineering Mathematics (بالإنجليزية), Cambridge: Cambridge University Press, OCLC:5283508, QID:Q137668129
• H.S.M. Coxeter (1948), Regular Polytopes (بالإنجليزية) (1st ed.), London: Methuen Publishing, OCLC:252280698, Zbl:0031.06502, QID:Q137681789
• Heinrich Dörrie (1965). 100 great problems of elementary mathematics: Their history and solution. Dover books on elementary and intermediate mathematics (بالإنجليزية). Translated by David Antin. New York City: Dover Publications. ISBN:978-0-486-61348-2. LCCN:65014030. OCLC:487523. QID:Q137682875.
• John Horton Conway; Richard K. Guy (1996). The Book of Numbers (بالإنجليزية). New York City: شبرينغر. DOI:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN:978-0-387-97993-9. LCCN:95032588. OCLC:32854557. OL:21579010M. QID:Q132508396.
• Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging Problems in Geometry (بالإنجليزية). New York City: Dover Publications. ISBN:978-0-486-69154-1. LCCN:95052535. QID:Q137668151.
• Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra: one of the most charming chapters of geometry (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-55432-9. LCCN:96009420. MR:1458063. OCLC:5894556930. QID:Q134888807.
• John William Harris; Horst Stöcker (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science (بالإنجليزية). New York City: شبرينغر. ISBN:978-0-387-94746-4. LCCN:98020290. MR:1621531. OCLC:1035092714. QID:Q56225378.
• Ralph H. Petrucci; William S. Harwood; F. Geoffrey Herring (2002). General chemistry: Principles and Modern Applications (بالإنجليزية) (8th ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:978-0-13-014329-7. LCCN:2001032331. OCLC:46872308. OL:3946457M. QID:Q121437115.
• Saul Stahl (2003). Geometry: from Euclid to knots (بالإنجليزية). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:978-0-13-032927-1. LCCN:2002072722. OCLC:49942737. QID:Q137596227.
• Eeva-Liisa Pelkonen; Donald Albrecht, eds. (2006). Eero Saarinen: shaping the future (بالإنجليزية). New Haven: Yale University Press. ISBN:978-0-9724881-2-9. OCLC:70207967. QID:Q137684697.
• Steven F. White; Esthela Calderón (2008). Culture and customs of Nicaragua. Culture and customs of Latin America and the Caribbean (بالإنجليزية). Westport: Greenwood Press. ISBN:978-0-313-08739-4. OCLC:214953466. QID:Q137682826.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2010). Charming proofs: a journey into elegant mathematics. Dolciani mathematical expositions (42) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-348-1. JSTOR:10.4169/j.ctt6wpwnz. OCLC:796675453. QID:Q136280152.
• Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer, (2010). Methods for Euclidean geometry. Classroom resource materials (37) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-763-2. OCLC:501976971. QID:Q136141143.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
• Celine Carstensen; Benjamin Fine; Gerhard Rosenberger (2011). Abstract algebra: Applications to Galois theory, algebraic geometry, and cryptography. Sigma series in pure mathematics (11) (بالإنجليزية). Berlin: De Gruyter. ISBN:978-3-11-025009-1. LCCN:2010038153. OCLC:667210531. QID:Q137667771.
• Artemio R. Guillermo (2012). Historical dictionary of the Philippines. Historical dictionaries of Asia, Oceania, and the Middle East (بالإنجليزية) (3rd ed.). Lanham: Scarecrow Press. ISBN:978-0-8108-7511-1. LCCN:2011026209. OCLC:774293494. QID:Q137682758.
• Claudi Alsina Català; Roger B. Nelsen (2015). A mathematical space odyssey: solid geometry in the 21st century. Dolciani mathematical expositions (50) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-1-61444-216-5. JSTOR:10.4169/j.ctt15r3znz. OCLC:914735631. QID:Q136087414.

وصلات خارجية

• المثلث متساوي الأضلاع في موسوعة عالم الرياضيات.