المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

تكامل مثلثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من مجسم نيلسن اللولبي)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (أبريل 2019)

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: trigonometric integrals) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب[عدل]

رسم لتكامل جيب (x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما ; و هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

لاحظ بأن هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون , فأنه يُعرف بأسم تكامل دركليه.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمام[عدل]

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

تكامل الجيب الزائدي[عدل]

يكون تكامل الجيب الزائدي integral كالتالي:

تكامل جيب التمام الزائدي[عدل]

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic co كالتالي:

حيث أن هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبي[عدل]

رسم مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, مجسم نيلسن اللولبي (بالإنجليزية: Nielsen's spiral), و يسمى أيضاً بالمجسم اللولبي عن طريق مكاملة الجيب و جيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral), هو مجسم لولبي ذو معادلات بارامترية.

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيك[عدل]

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)[عدل]

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون .

متسلسلات التقارب[عدل]

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي[عدل]

تُسمى الدالة بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضاً[عدل]

معالجة الإشارة[عدل]

المراجع[عدل]