مربع

  لمعلومات عن معانٍ أخرى، طالع مربع (توضيح).

  هذه المقالة عن الشكل الهندسي مربع. لمعلومات عن مربع عدد، طالع مربع (الجبر).

المُربَّع
المُربَّع رباعي أضلاع منتظَم.
النوع	رباعي أضلاع منتظَم ومُحدَّب ودائري.
الأضلاع والرؤوس	4
مخطط كوكستر ودنكين
زمرة التناظر	زمرة ثنائية الوجه (D4)
المساحة	= l2 (l طول الضلع)
الزاوية (درجة)	90°
الخواص	قائم الزوايا ومتعامد القطرين ومتناصفهما

المُربَّع، في الهندسة الرياضية، رباعي أضلاع مُنتظَم أضلاعه كلها متساوية الطول ومتعامدة، له أربع زوايا متساوية قائمة (°90 أو π/2 راديان). المُربَّع حالة خاصَّة من المستطيل الذي يحوي أربع زوايا قائمة متساوية والمعين ذي الأربع أضلاع متساوية. يمكن أيضًا إنشاء المُربَّع بلصق مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.

يمكن إنشاء المُربَّعات بوسائل مختلفة، منها المسطرة والفرجار في نظام الإحداثيات الديكارتية. كما يمكن تمثيلها في المستوي العقدي بالضرب المُتكرِّر بالعدد التخيلي 𝑖 .

تُحسَب مساحة المُربَّع بضرب طول الضلع بنفسه، وولها يُقال في علم الجبر أن مُربَّع العدد حاصل ضربه بذاته. صيغة مساحة المُربَّع من الأسس البسيطة والجوهرية في حساب المساحات. وقد شكّلت هذه القاعدة نقطة انطلاق للعديد من المسائل الرياضية، بما في ذلك مسألة تربيع الدائرة، أي إنشاء مُربَّع مساوٍ في المساحة لدائرة معينة بالمسطرة وفرجار فقط. وقد أثبتت الرياضيات الحديثة استحالة حل هذه المسألة، بسبب الطبيعة المتسامية للعدد π. يمكن أيضًا رسم مُربَّع داخل أي منحنى أملس أو محدب، مثل الدائرة أو المثلث، غير أن مسألة ما إذا كان بالإمكان رسم مُربَّع داخل كل منحنى بسيط مغلق، وهي المسألة المعروفة باسم "مسألة المُربَّع المُحاط"، لا تزال غير محلولة في الرياضيات.

تظهر المُربَّعات كذلك في مسائل أكثر تعقيدًا، مثل تقسيم المُربَّع إلى مُربَّعات أصغر غير متساوية في الحجم، وهي المسألة المعروفة باسم تربيع المُربَّع. اهتم الرياضيون أيضًا بمشكلات تتعلَّق بملء أكبر عدد ممكن من المُربَّعات داخل أشكال هندسية أخرى، ما يستلزم البحث في الكفاءة المثلى لاستغلال المساحة.

يعني التبليط المُربَّع استخدام المُربَّعات المتجاورة المتطابقة في تبليط المستوى تبليطًا منتظَمًا بلا فراغات، أي تنطبق أضلاع المُربَّعات المتجاورة بعضها على بعض انطباقًا تامًا. التبليط المُربَّع أبسط أنواع التبليط المنتظَم في الهندسة الإقليدية.

تظهر أشكال مُربَّعة أيضًا في الهندسة غير الإقليدية ولكن بصيغ مختلفة. ففي هندسة سيارة الأجرة ومسافة شبشفية تكون المُربَّعات كرات مترية، أي الأشكال التي تمثل نقاطًا على مسافة ثابتة من نقطة مركزية وفق تعريف كل من هاتين الهندستين. أما في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية، وهما فرعان آخران من الهندسة غير الإقليدية، التي تفتقر للمضلعات، لذلك من غير الممكن رسم مُربَّعات لها أضلاع متساوية وزوايا قائمة كما في الهندسة الإقليدية، لكن يمكن بناء مضلعات منتظمة تمتلك خصائص مشابهة للمُربَّع. فقد تكون رباعية الأضلاع بأطوال متساوية ولكن بزوايا غير قائمة، أو ذات أربع زوايا قائمة ولكن بعدد مختلف من الأضلاع أو بتوزيع مختلف للزوايا.

تظهر المُربَّعات في العديد من التطبيقات اليومية والهندسية، فهي عنصر رئيس في رصف الأرضيات والجدران، وتُستخدم على نطاق واسع في ورق الرسم البياني، وعناصر الصور الرقمية، ولوحات الألعاب مثل رقعة الشطرنج. كما تظهر الأشكال المُربَّعة في مخططات طوابق المباني، والأوريغامي (فن طي الورق)، وأطباق الطعام التي تتخذ هذا الشكل لأسباب جمالية ووظيفية. ويشيع استخدام المُربَّع أيضًا في تصميم الرسوميات والشِّعارة والصور الفورية وكذلك في الفنون الجميلة.

التعريف والتسمية

يُعرِّف مُعجَم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المُربَّعَ بأنه «شكل هندسي مستو له أربعة أضلاع متساوية الطول وأربع زوايا قائمة» وتُعرِّف موسوعة الكويت العلمية المُربَّع بأنه «شكل رباعي ذو أضلاع متساوية وزوايا متساوية» وبأنه «مستطيل ضلعاه المتجاوران متساويان». أما مُعجَم أكسفورد لدراسة الرياضيات، فيُعرِّف المُربَّع بأنه «مستطيل تساوت أضلاعه».

يكون أي رباعي أضلاع بسيط في المستوى الإقليدي مُربَّعًا إذا استوفى أي من الشروط التالية:

• له أربعة أضلاع متساوية الطول وأربع زوايا قائمة (90 درجة أو π/2 راديان).
• مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية الطول.
• مُعيَّن يحتوي على زاوية قائمة بين ضلعين متجاورين.
• مُعيَّن زواياه كلها متساوية المقاس (أي كلها زاويا قائمة).
• متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة واحدة وضلعان متجاوران متساويان.
• أقطاره متساوية الطول ومتعامدة ويُنصِّف كل منها الآخر، أي أنه مُعيَّن متساوي الأقطار.
• رباعي أضلاع أضلاعه مساحته، بدلالة أطوال أضلاعه، كما يأتي:

$$A={\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$$

المُربَّع اسم مفعول من الجذر الثلاثي «ر ب ع»، ويُرجِع معجم الدوحة التاريخي أول استعمال معروف لمصطلح «المُربَّع» للخوارزمي قرابة العام 833م، لكن الخوارزمي يستعمل المصطلَح في كتابه «مفاتيح العلوم» بمعنى «رباعي الأضلاع»، ويُصنَّف تحته خمسة أنواع: المريع الشائع ويسميه المربع الصحيح، والمستطيل والمعين، وشبيه المعين والمنحرِف.

يُسمَّى المُربَّع باللغة الإنجليزية «square» وتتفق معاجم المصطلحات العربية المتخصصة على تعريب اعتماد مصطلَح «مُربَّع» مقابلًا لها.

التصنيف

تصنيف رباعيات الأضلاع بمخطط هاسه.

مخطط أويلر لرباعيات الأضلاع البسيطة، المُربَّع باللون الأجمر في أعلى المُخطَّط.

المُربَّع حالة خاصة المستطيل والمُعيَّن ومتوازي الأضلاع الرباعي.

المُربَّع رباعي أضلاع مستوٍ بسيط مُحدَّب أطوال أضلاعه متساوية، وزواياه متساوية المقاس وكلها قائمة، قطراه متعامدان ومتناصفان.

المُربَّع حالة خاص من المستطيل، ويختص بأن أطوال أضلاعه متساوية، وحالة خاصة من المُعيَّن، ويختص بأن زواياه كلها متساوية المقاس وهي زوايا قائمة. وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، ويختص بأن قطريه متعامدان ومتناصفين، وهو حالة خاصة من الحدأة، ويختص، مع المُعيَّن، بأن أضلاعه متساوية الطول.

المُربَّع رباعي أضلاع دائري، أي أنه محاط بدائرة تمر من رؤوسه كلها، وهو مُضلَّع مماسي، أي ثمة دائرة ترسم داخله تُمس أضلاعه كلها، وهو أيضًا مُضلَّع متعامِد القطرين، أي أن قطريه يتقاطعان بزاوية قائمة، ومتناصف القطرين أي أن نقطة تقاطع قطريه تُنصِّفهما، وهذه النقطة هي مركز المُربَّع وهي مركز الدائرتين السابقتين: المحيطة والمُحاطة.

الخواص

المُربَّع باللون الأزرق. في الصف الأعلى: المُربَّع ضمن قائمات الزوايا مع تغير أبعادها، يختص المُربَّع بأن أطوال أضلاعه متساوية. في الصف الأسفل: المُربَّع ضمن المُعيَّنات مع تغير مقاسات زواياها، يختص المُربَّع بأن زواياه كلها قائمة.

المُربَّع رباعي أضلاع، لذلك عدد أضلاعه أربعة وعدد زواياه أربعة، وهو حالة خاصة من:

• متوازي الأضلاع، لذلك فإن كل أضلاعه المتقابلة متوازية.
• شبه المنحرف، لذلك فإن أحد زوجي الأضلاع المتقابلين فيه متوازيان.
• الحدأة، لذلك فإن كل زوجين من الأضلاع المتجاورة فيه متساويا الطول، وقطراه متعامِدان.
• المعين، لهذا فإن أضلاعه متساوية وزواياه المتقابلة متساوية.
• المستطيل، لهذا فإن أضلاعه المتقابِلة متساوية وزواياه الأربعة قائمة.

أي يمتلك المُربَّع خواص رباعيات الأضلاع هذه كلها، وهي:

• الزوايا الأربع الداخلية للمُربَّع كلها متساوية وقائمة.
• قياس الزاوية المركزية للمُربَّع يساوي 90 درجة، وقياس الزاوية الخارجية للمُربَّع تساوي 90 درجة.
• أقطار المُربَّع متساوية وتنصف بعضها بعضاً بزاوية 90 درجة.
• تنصف أقطار المُربَّع زواياه الداخلية، وتشكل زوايا متجاورة بزاوية 45 درجة.
• أضلاع المُربَّع الأربعة متساوية الطول، وكل زوجين متقابلين منهما متوازيين.

المُربَّع من المُضلَعات منتظَم، أي أن أطوال أضلاعه كلها متساوية ومقاسات زواياه كلها متساوية. ينفرد المُربَّع من بين المُضلَّعات المنتظَمة، بأن زواياه الداخلية والخارجية، والمركزيّة متساوية، وقياسها كل منها 90 درجة.

المُربَّعات كلها متشابهة مع بعضها، لأن لها الشكل ذاته، وتتطابق المُربَّعات إذا تساوت أطوال أضلاعها أو أقطارها أو تطابق حجمُها.

القطر

حسابات رياضية بابلية لقطر المُربَّع مُقدرة بين العامين 1800 و 1600 قبل الميلاد

يُسمَّى المُربَّع بأسماء رؤوسه، مثلًا: ABCD، ويُرمز لطول ضلعه عادةً بالرمز $\ell$ ولطول قطره $d$. يُحسب طول قطر المُربَّع بالعلاقة: $$d={\sqrt {2}}\ell$$

الجذر التربيعي للعدد 2 عدد غير مُنطَّق، أي لا يمكن التعبير عنه بكسر عشري منتهٍ، وتُقدَّر قيمته تقريبًا 1.414. وتعود معرفة هذا العدد إلى الحضارة البابلية، حيث توصّل علماء البابليين إلى تقدير دقيق له آنذاك.

المحيط

يكفي معرفة طول ضلع المُربَّع لمعرفة محيطه، يُحسَب محيط المُربَّع $P$ الذي طول ضلعه $\ell$ بالعلاقة:

$$P=4\ell$$

المُربَّع رباعي الأضلاع الأقل محيطًا من بين جميع الرباعيات التي تحيط بمساحة معينة.

المساحة

تساوي مساحة المُربَّع جُداء طول ضلعه بنفسه.

تُحسَب مساحة المُربَّع وفقًا للعلاقة:

$$A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.$$

يُعطي تربيع عدد صحيح، أي حساب مساحة مُربَّعٍ طول ضلعه عدد صحيح، على ما عددًا مربعًا، يُمثّل هذا العدد الشكلي عدد النقاط التي يمكن ترتيبها على شكل شبكة مُربَّعة منتظمة. ويمكن بعمل العملية المعاكسة، أي حساب الجذر التربيعي للمساحة الحصول على طول ضلع المُربَّع. وقد أدى استخدام علاقة طول الضلع مرفوعًا للقوة 2 لحساب المساحة إلى اعتماد مصطلح «مُربَّع» في الجبر للإشارة إلى رفع أي عدد إلى قوة مقدارها اثنان.

المُربَّع الذي طول ضلعه مساوٍ ل 4 مُربَّع خاص، لأن محيطه يساوي مساحته، فهو شكل سَوي، من بين رباعيات الأضلاع قائمة الزاوية، ثمة شكل واحد آخر سوي هو المستطيل الذي طوله 6 وعرضه 3.

يُعدُّ المُربَّع أيضًا رباعي الأضلاع الأكبر مساحة من بين كل الرباعيات التي لها المحيط نفسه. إذا كانت A مساحة شكل رباعي و P محيطه ، فإن متباينة المحيطات المتساوية التالية صحيحة:

$$16A\leq P^{2}$$

وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل رباعيًا منتظَما، أي مُربَّعًا.

التناظر

التقايسات الثمانية للمُربَّع: يَحفظ كل منها تناظر المُربَّع بإعادة إنتاج مُربَّع مطابق للأصل.

المُربَّع رباعي الأضلاع الأكثر تناظرًا من بين رباعيات الأضلاع كلها، وله ثماني تحويلات جاسئة تُعيد المُربَّع إلى نفسه دون تغيير في الهيئة أو المقاسات.

إذا وُضِع المُربَّع في نظام إحداثيات ديكارتية وكانت أضلاعه موازية لمحوري الإحداثيات ومركزه منطبق على نقطة الأصل، بالإمكان تمثيل كل التناظرات الممكنة بعمليات تبديل إشارة إحداثيات نقاط رؤوسه وتبديل الإحداثيات السينية بالعينية. للمُربَّع 4 محاور انعكاس تناظرية: القطران ومنصفا الأضلاع، و4 تناظرات دورانية: 90 و180 و270 و360 درجة، ينتج كل منها مُربَّعًا جديدًا مطابقًا للأصل. يُمكن، لفهم التناظرات، افتراض تقسيم المُربَّع إلى 8 مثلثات متساوي الساقين تتشارك في رأس واحد هو مركز المُربَّع، يُدرس أحد هذه المثلثات (مُلوَّن بالأزرق كما في الشكل في الأسفل)، باعتباره ساحة أساسية للتحويل، تعامَل التناظرات عندها على أنها تدوير للمثلث حول مركز المُربَّع ليشغل مواقع المثلثات الثمانية المحصورة بين أنصاف الأضلاع ومركز المُربَّع. يَقرُن كل تناظر رأسين من رؤوس المُربَّع، وحرفين ونصفي حرفين بعضهما مع بعض. هذه التناظرات ليست مقصورةً على المُربَّع وحده، بل هي خاصية لدى كل المُضلَّعات المنتظَمة. ويُقبَل أن تناظرات المُربَّع، أو أي مُضلَّع منتظَم تعميمًا، تعمل انتقاليًا على الرؤوس والأضلاع، وتعمل انتقاليًا ببساطة على أنصاف الأضلاع.

الموقع البدائي للمُربَّع
( دالة مطابقة)

دوران 90° عكس عقارب الساعة

دوران 180°

دوران 270°

انعكاس قطري شمال غرب – جنوب شرق

انعكاس أفقي (بالنسبة للمحور الشاقولي)

انعكاس قطري شمال شرق-جنوب غرب

انعكاس شاقولي (بالنسبة للمحور الأفقي)

المُربَّع رباعي الأضلاع الأكثر تناظرًا من بين رباعيات الأضلاع كلها، ولرباعيات الأضلاع الأخرى، زمر فرعية من زُمَر تناظراته. في الأعلى: المُربَّع ومحاور تناظره الانعكاسي الأربعة وتناظراته الدورانية الأربعة، في الوسط: للمستطيل والمعين لهما محاورا تناظر انعكاسيين وتناظرين دورانيين، في الأسفل: ومتوازي الأضلاع له تناظر دوراني واحد، ولكل من الحَدَأة وشبه منحرف متساوي الساقين تناظر انعكاسي واحد فقط.

يُمكن جمع أي اثنين من هذه التحويلات بتنفيذ إحدهما بعد الأخرى، فيُعاد إنتاج المُربَّع نفسه وينتج تناظر جديد. يؤدي التدوير المتكرر إلى دوران جديدة بزاوية دوران إجمالية تُضاف لما سبق. يؤدي تنفيذ انعكاسين على المحور ذاته إلى تحويل هوية، بينما يؤدي انعكاسان على محورين مختلفين إلى تدوير المُربَّع. يؤدي الدوران المتبوع بانعكاس، أو العكس بالعكس، إلى إنتاج انعكاس جديد مُختلِف. تتيح عملية تركيب الدوال هذه التماثلات الثمانية للمُربَّع الهيكل الرياضي لزمرة، تسمى زمرة المُربَّع أو الزمرة ثمانية الوجه من المرتبة الثانية «D8». أما رباعيات الأضلاع الأخرى، مثل المستطيل والمُعيَّن، فليس لها سوى زمرة فرعية من هذه التناظرات.

تحويلات المُربَّع مع ترقيم الرؤوس (يُعيد كل منها إنتاج المُربَّع نفسه)

تحويل هوية (تدوير 0°) تظل النقاط كلها كما الأصل	تدوير 90° عكس عقارب الساعة	تدوير 180° عكس عقارب الساعة	تدوير 270° عكس عقارب الساعة
انعكاس بالنسبة للمحور الأفقي	انعكاس بالنسبة للمحور الشاقولي	انعكاس بالنسبة للقطر الأول	انعكاس بالنسبة للقطر الآخر
عناصر زمرة التناظر (D4)، رُقِّمت الرؤوس ولُونِت لتسهيل تتبع التحويلات.

منظور ثلاثي النقاط لُمكعَّب، يُظهر تحولات منظورية لوجوهه الستة المُربَّعة إلى ستة رباعيات أضلاع مختلفة.

تَحفَظ خاصية التشابه في المُربَّعات هيئة المُربَّع لا قده عند عمل أي من التحويلات السابقة.، ثمة تحويلات أخرى في المستوى تُنتج رباعيات أضلاع أخرى انطلاقًا من المُربَّع. فالتحويل التآلفي لمُربَّع مثلًا، يُنتج متوازي أضلاع والعكس بالعكس. و التحويل الإسقاطي يُنتج رباعي أضلاع مُحدَّب والعكس بالعكس، ويعني هذا أنه بالإمكان أن يبدو المُربَّع وكأنه أي رباعي أضلاع مُحدَّب آخر بالرسم منظوري، والعكس بالعكس. ويمكن لتحويل موبيوس أن ينتج رؤوس شكل رباعي توافقي من رؤوس مُربَّع (ولا ينطبق ذلك على أضلاعه).

زُمَر ورق الجدران زُمَر تناظر ثنائية الأبعاد ذات أنماط مُتكرِّرة. تكون وحدة التكرار الرئيسة في العديد من هذه الزمر، وهي خلية من شبيكة الأدوار، مُربَّعة، ويلزم أن تكون مُربَّعة في ثلاثة من هذه الزُمَر: p4 وp4m وp4g.

سقف مقبرة مصرية (الزمرة p4)

نينوى وبلاد فارس (الزمرة p4m)

الصين (الزمرة p4g)

زُمَر ورق الجدارن من كتاب قواعد الزخرفة للمعماري الإنجليزي أوين جونز

الدائراتان المحيطة بالمُربَّع والمحاطة به

دائرتا المُربَّع: المُحيطة (بالأحمر) والمحاطة (بالأرجواني)، وأنصاف أقطارهما إذا كان طول ضلع المُربَّع $r=\ell /2$.

للمُربَّع دائرتان مميزتان: محاطة يُحيط بها وتمس أضلاعه كلها داخِلًا في منتصفاتها، ومحيطة، تحيط به وتمر برؤوسه كلها، مركز هاتين الدائرتين هو مركز المربع، وهو نقطة تقاطع قطريه. الدائرة المحاطة بمُربَّع أكبرُ دائرة يُمكِن أن تتسع داخل ذلك المُربَّع. ونصف قطرها نصفُ قطر المُربَّع، أي $r=\ell /2$. المُربَّع رباعي أضلاع مماسي لأن ثمة دائرة تمس أضلاعه كلها داخلًا. المُربَّع أيضًا رباعي أضلاع دائري بسبب دائرته المحطية، التي يكون نصف قطرها مساوٍ لنصف قطر المُربَّع، أي $R=\ell /{\sqrt {2}}$.

ليكن المُربَّع $ABCD$ المحيط بدائرة تمسه في $E$ منتصف الضلع $AB$، و$F$ منتصف الضلع $BC$، و$G$ منتصف الضلع $CD$، و$H$ منتصف الضلع $DA$، من أجل أي نقطة $P$ من نقاط الدائرة تكون العلاقة التالية محققة:

$$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}$$

إذا كان $d_{i}$ المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى رأس المُربَّع $i$ و$R$ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع، فإن العلاقة التالية محققة دومًا:

$${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.$$

إذا كانت $L$ و$d_{i}$ المسافات من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز المُربَّع ورؤوسه الأربعة على الترتيب، فإن العلاقتين التاليتين محققتان دومًا:

$$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})$$

وَ

$$d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),$$ عندما

وفيهما $R$ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع.

مواضيع مرتبطة

الإنشاء

بالإحداثيات والمعادلات

مُربَّع قطري، تستوفي نقاط أضلاعه (بالأحمر) المعادلة $|x|+|y|=2$ في منظومة إحداثيات ديكارتية.

مُربَّع الوحدة مُربَّعٌ طول ضلعه يساوي الواحد، وغالبًا ما يُمثَّل في منظومة الإحداثيات الديكارتية بالمُربَّع الذي يضم النقاط (x، y) التي تستوفي الشرطين $0\leq x\leq 1$ و $0\leq y\leq 1$.أما رؤوسه، فأحدها هو الأصل (0، 0)، في حين تكون إحداثيات سائر النقاط الأخرى إمَّا 0 وإما 1.

أما المُربَّع الذي توازي أضلاعه محاور الإحداثيات، ومركزه النقطة $(x_{c},y_{c})$ وطول ضلعه $2r$، ويساوي $r$ طول نصف الضلع، وهو نصف قطر الدائرة المحاطة بالمُربَّع، تقع رؤوس هذا المُربَّع في النقاط $(x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)$، ويضم داخله النقاط $(x,y)$ التي تستوفي الشرط $\max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r$، في حين تستوفي النقاط على أضلاعه الشرط $\max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r$.

أما المُربَّع القطري، فهو المربَّع الذي ينطبق قطراه على محوري الإحداثيات أو يوازيانها، فإذا كان مركزه النقطة $(x_{c},y_{c})$ وطول قطره $2R$، ويساوي $R$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع، فإن رؤوس هذا المُربَّع في النقاط $(x_{c}\pm R,y_{c})$ و$(x_{c},y_{c}\pm R)$. ويضم داخله النقاط $(x,y)$ مع $|x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R$، في حين تستوفي النقاط على أضلاعه الشرط $|x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R$.

تنتج رؤوس المُربَّع الذي مركزه في نقطة الأصل عن ضرب العدد العُقدي p ثلاث مرات متتالية بالوحدة التخيلية i، وينتج المُربَّع الذي مركزه النقطة c بسحب المُربَّع الأول بإضافة عدد عقدي آخر c إلى رؤوسه. تظهر في خلفية الرسم الشبيكة المُربَّعة التي تمثلها الأعداد الصحيحة الغاوسية.

يؤدي ضرب حد بالوحدة التخيلية $i$ في مستوى الأعداد العقدية إلى تدوير الحد الآخر في الناتج بمقدار 90° حول أصل جملة الإحداثيات. فإذا ضُرب أي عدد عُقدي غير صفري $p$ ثلاث مرات متتالية بالوحدة التخيلية $i$، سيكون الناتج $p$ و$ip$ و$-p$ و$-ip$، وتُشكِّل هذه الأعداد رؤوس مُربَّع مركزه الأصل $(0,0)$. إذا عُومِل الجزآن الحقيقي والتخيلي من هذه الأعداد العقدية الأربعة التي شكلها ($p=x+iy$)، على أنها إحداثيات ديكارتية، فستنتج النقاط $(x,y)$ ،$(-y,x)$ ،$(-x,-y)$، و$(-y,-x)$. يُمكِن نقل هذا المُربَّع ليكون أي عدد عقدي آخر $c$ مركزًا له بالانسحاب من الأصل إلى النقطة $c$، ويمكن تمثيل ذلك في الفضاء العقدي بأنه عملية إضافة الحد $c$ إلى الأعداد العقدية التي تمثل رؤوس المُربَّع. تشكل الأعداد الصحيحة الغاوسية، وهي أعداد عُقدية جزآها الحقيقي والتخيلي صحيحان، شبيكة مُربَّعة في المستوى العقدي.

بالمسطرة والفرجار

يذكر إقليدس في المقالة الأولى من كتاب الأصول كيفية رسم مُربَّع عُرِف طول ضلعه بالمسطرة والفرجار:

	لنا أن نعمل على كل خط مستقيم محدود مُربَّعًا
— تحرير الأصول

يعني وجود هذا الإنشاء أن المُربَّع مضلع قابل للإنشاء. يمكن إنشاء مُضلَّع منتظَم نوني عندما تكون العوامل الأولية الفردية لـ $n$ من أعداد فيرما الأولية متمايزة. وفي حالة المُربَّع، $n=4$، ليس ثمة عوامل أولية فردية، فهذا الشرط مستوفى.

كما يذكر كتاب الأصول في مقالته الرابعة إنشاءات لمُربَّع محيط بدائرة ومحاط بدائرة على الترتيب:

	كل مُربَّع مفروض لنا أن نرسم فيه دائرة
— تحرير الأصول

	كل مُربَّع مفروض لنا أن نرسم عليه دائرة
— تحرير الأصول

• 
  إنشاء مُربَّع عُلِمت دائرته المحيطة.
• 
  إنشاء مُربَّع بطول ضلع معلوم بمبرهنة طاليس.
• 
  إنشاء مُربَّع بقطر معلوم.

في الهندسة الرياضية

الهندسة الإقليدية

مبرهنة فِنْزلَر وهَدْفِغَر.

رباعي أضلاع ذو مربع منتصفات

مبرهنة كروس

تتضمن العديد من المبرهنات الرياضية المُربَّعات؛ تنص مبرهنة فِنْزلَر وهَدْفِغَر مثلًا على ما يلي: ليكن المُربَّعان $ABCD$ و$AB'C'D'$ المشتركان بالرأس $A$، وليكن $H$ و$F$ مركزاهما على الترتيب. تشكل نقطتا المركز، ومنتصفي القطعتين $BD'$ و $B'D$ رؤوسًا لمربَّع ثالث. يُمكن أن يُكرَّر استعمال هذه المبرهنة لإثبات مبرهنة فان أوبيل التي تنص على أن مراكز المُربَّعات الأربعة، التي يُنشأ كل منها على ضلع من أضلاع رباعي أضلاع تُشكِّل رباعي أضلاع ذو مربع منتصفات. كما تنص مبرهنة كروس مثلًأ، والتي تُسمَّى أحيانًا مبرهنة فيكتن على أنه إذا وُجِد مُثلَّث محاط بثلاثة مُربَّعات منشأة على أضلاعه، فإن المُثلَّثات الثلاثة الإضافية الناتجة عن توصيل رؤوس تلك المُربَّعات تكون جميعها متساوية في المساحة.

تنص مبرهنة مُنسكي على أنه لا يُمكِن تقطيع المُربَّع إلى عدد فردي من المُثلَّثات متساوية المساحة. وتتضمن مسألة تثليث المُربَّع تقطيعه إلى عدد من القطع ثم إعادة تجميعها لتكوين ثلاث مُربَّعات متطابقة. كما تتحدى مسألة تارسكي لتربيع الدائرة مفهوم الفَرُوقية التكافئية بين المُربَّع والدائرة بدراستها لتقطيع قرص الدائرة إلى عدد محدود من القطع وإعادة تجميعها لتُشكِّل مُربَّعًا.

متعددات الوجوه والأكناف

المُكعَّب حدٌ في متتالية من متعدِّدات الأكناف المنتظَمة تبدأ بالمُربَّع.

المُربَّع مُتعدِّد أكناف منتظَم ثنائي الأبعاد، كَنفه الضلع، ورمز شليفلي له $\{4\}$. يُنتِج بترُ زوايا المُربَّع ثماني أضلاع. ينتمي المُربَّع إلى عائلة من متعدِّدات الأكناف المنتظَمة تضم المُكعَّب في الفضاء ثلاثي الأبعاد والمُكعَّب الفائق في الأبعاد الأعلى، كما ينتمي أيضًا إلى عائلة أخرى تضم ثماني الوجوه المُنتظَم في الفضاء ثلاثي الأبعاد ومُتعدِّد الأكناف التصالبي في الأبعاد الأعلى. يُمكِن تمثيل إحداثيات رؤوس المكعب والمكعبات الفائقة طول أضلاعها 1، على محاور جملة إحداثيات متعامدة ثنائية البعد يطابق مبدأها مركز متعددات الأكناف هذه، فيُنتج ذلك مربعًا هو مسقط متعدِّدي الأكناف هذين في الفضاء ثنائي البعد، أما مسقط ثماني الوجوه المنتظَم ومتعددات الأكناف التصالبية، فيكون لها إحداثييان ±1 في حين تكون سائر الإحداثيات الأخرى صفرية، وينتج مربع قطراه منطبقان على جملة الإحداثيات. يُمكِن الحصول على تناظرات هذه الأشكال، كما هو الحال في المُربَّعات، بتطبيق عمليات تباديل ذات إشارة على إحداثياتها.

الكُسُوريات

سجادة شربنسكي مربع كسوري فيه ثقوب مُربَّعة

قَرْن الخبَّاز

سجادة شربنسكي كسورية مُربَّعة فيها ثقوب مُربَّعة. مسار المنحنيات المالئة للفضاء، مثل منحني هلبرت ومنحني بيانو ومنحني شربنسكي يكون على هيئة قطعة مستقيمة مُتعرِّجة لا تتجاوز حدود مُربَّعٍ يشملها. أما المنحني ذو المرتبة زد فيشابه المنحنيات السابقة شكًلا لكنه يختلف عنها بأنه غير مستمر. من الدوال الرياضية الأخرى المرتبطة بالمُربَّع قَرْن قط أرنُلد وقَرْن الخبَّاز، وكل منهما دالَّة تُولِّد منظومة حراكيةً فوضويةً في مُربَّع، إضافة إلى الدوال الإهليلجية ذات العروتين، وهي دوال عُقدية دورية على شبكة مُربَّعة.

المُربَّعات المُحاطة

المُربَّع المرسوم في مُثلَّث. إلى اليمين: مُثلَّث حاد الزاويا (3 مُربَّعات)، في الوسط: مُثلَّث قائم الزاوية (مُربَّعان)، إلى اليسار: مُثلَّث منفرِج الزاوية (مُربَّع واحد)

المُربَّع شكل محاط، أي أن رؤؤسه الأربعة كلها تقع على منحنٍ معلوم. تطرح مسألة المربع المحاط سؤال عن إحاطة أي منحنٍ بسيط مغلق بمربع، وهي مسألة غير محلولة بعد، مع أن صحتها مثبتة لأي منحنٍ أملس، ولأي منحنٍ مُحدَّب مغلَق. ويُعد المثلث متساوي الأضلاع المُضلَّع المنتظَم الوحيد الآخر الذي يمكن إحاطته دائماً بمُنحنٍ مُحدَّب مُغلَق، فثمة منحنٍ مُحدَّب لا يمكن رسم أي مُضلَّع منتظم آخر بداخله.

أمَّا المُربَّع المحاط بمُثلَّث، فإن ضلعاً واحدًا على الأقل منه سينطبق على ضلع من أضلاع المُثلَّث. ويحيط كل مُثلَّثٍ حاد بثلاث مربَّعات، ويحيط المثلث قائم الزاوية بمربعين، أحدهما ينطبق على زاويته القائمة، وينطبق ضلع الآخر على وتره. ويحيط المُثلث منفرِج الزاوية بمُربَّعٍ واحد ينطبق ضلعه على أطول أضلاعه. لا يمكِن للمُربَّع المحاط بمُثلَّث أن يشمُل مساحة تزيد نصف مساحة ذلك المُثلَّث.

المساحة والتربيع

طالع أيضًا: مساحة وتربيع (مساحات) وتربيع الدائرة

مبرهنة فيثاغورس: تساوي مساحة المربع الأرجواني مجموع مساحتي المربعين الأحمر والأزرق.

دائرة ومربع لهما المساحة نفسها.

عُرِّفت العديد من وحدات قياس المساحة المُعرَّفة وفقًا للمُربَّعات منذ العصور القديمة، وعادةً ما تُنسب لوحدة طول معيارية تكون ضلعها، مثل المتر المُربَّع أو البوصة المُربَّعة.

قيست مساحة الشكل المستوي في الهندسة الاستنتاجية اليونانية القديمة ثُمَّ قُورِنت بمساحة مُربَّع له المساحة نفسها منشأ بعدد محدود من الخطوات بالمسطرة والفرجار، وهي العملية التي تُسمى التربيع. ويشرح كتاب الأصول لإقليدس كيفية تطبيق هذه الطريقة لحساب مساحة المُستطيلات ومتوازيات الأضلاع، والمُثلَّثات، ثم يُعمِّم الطريقة على أي مضلع بسيط آخر بتقطيعه إلى مُثلَّثات. يُمكن أيضًا تربيع بعض الأشكال ذات الأضلاع المنحنية، مثل هلال أبقراط والقطع المكافئ.

	كل شكل مفروض مستقيم الأضلاع لنا أن نرسم مُربَّعًا يساويه
— تحرير الأصول

وظهر استعمال المُربَّع أداةً لقياس المساحة في الصيغة اليونانية لمبرهنة فيثاغورس:

	كل مثلث قائم الزاوية، فإن [مساحة] مربع وترها يساوي مجموعة [مساحتي] مربعي الضلعين المحيطين بها
— تحرير الأصول

مع أن صياغتها بهذا الشكل تجعلها تبدو صالحةً فقط لأجل المُربَّع، فإن هذه المبرهنة صالحة للأشكال الأخرى المنشأة على أضلاع المثلث، مثل المثلثات متساوية الأضلاع أو أنصاف الدوائر، لكن الإغريق القدماء اعتمدوا المُربَّعات. وفي الرياضيات الحديثة، استُبدلت بصيغة المبرهنة هذه المعتمدة على مساحات المربعات صيغة جبرية تتضمن تربيع الأعداد: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

بسبب هذا التركيز على التربيع معيارًا للمساحة، سعى الإغريق القدماء وعلماء الرياضيات اللاحقون دون جدوى إلى تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع له المساحة نفسها لدائرة معلومة، بعدد محدود من الخطوات بالفرجار والمسطرة. ثَبُتت استحالة هذه المسألة في عام 1882، نتيجةً لمبرهنة ليندمان وفايرشتراس التي أثبتت أن π عدد متسامٍ وليس عدداً جبرياً؛ أي أنه ليس جذراً لأي متعددة حدود معاملاتها أعداد مُنْطَقة. وبما أن تربيع الدائرة بالمسطرة والفرجار كان يؤول إلى مُتعدِّدة حدود للثابت π لا حلول لها، فإن هذه المسألة أعلنت مستحيلة الحل. وانتقل مصطلح «المربع المُدوَّر» إلى الفلسفة مثالًا الإرداف الخلفي وشاع منذ عصر أرسطو.

التبليط والرَزم

طالع أيضًا: تربيع المربع

التبليط المُربَّع

التبليط الفيثاغوري

يبلغ أصغر طول ضلع معروف لمُربَّع يمكنه احتواء 11 مُربَّعَ وحدة قرابة 3.877084.

التبليط المُربَّع مألوف في الأرضيات ولوحات الألعاب، وهو أحد التبليطات المضلعية المنتظَمة الثلاثة للمستوي، أما النوعان الآخران فيستخدمان المُثلَّث متساوي الأضلاع وسداسي الأضلاع المُنتظَم. تُشكِّل رؤوس المُربَّعات المُستعملة بالتبليط المُربَّع شبيكة مُربَّعة. يمكن أيضًا تبليط المستوي بمُربَّعات ذات قدود مختلفة، مثل التبليط الفيثاغوري، الذي اكتسب اسمه لعلاقته بأحد براهين المستعملة لإثبات صحة مبرهنة فيثاغورس.

تبحث مسائل رَزم المُربَّع عن أصغر مُربَّع أو دائرة يمكن أن تتسع لعدد معين من مُربَّعات الوحدة. وتعد رقعة الشطرنج مثالاً مثالياً لرزم أكبر عدد ممكن من مُربَّعات الوحدة داخل مُربَّع أكبر، ولكنها حالة خاصة لا تُعمَّم، ولا تزال الحلول المثلى لهذا النوع من المسائل غير معروفة؛ ولا حلول مُثلى معروفة أيضًا لمسألة رَزم دوائر في مُربَّع. وقد تتسم مسائل رزم المُربَّعات داخل أشكال أخرى بتعقيد حسابي عالٍ؛ فمثلاً يُعد اختبار ما إذا كان رزم عدد معين من مُربَّعات الوحدة داخل مضلع قائم الزوايا ذو غلاف مُحدَّب متعامِد إذا كانت إحداثيات الرؤوس أعدادًا نصف صحيحة مسألة متعددة حدود غير قطعية كاملة.

إسقاط مجسادي ثلاثي الأبعاد لطارة كلفورد دوَّارة

لانهائي أضلاع متجانف منتظَم تلتقي 6 مُربَّعات عند كل رأس من رؤوسه

محاكاة عددية لمسألة كيس الورق

يُمكِن تبليط أسطح أخرى غير المستوي في الأبعاد الأعلى بمُربَّعات متطابقة تلتقي ضلعًا إلى ضلع. طارة كلفورد، وهو جُداء ديكارتي رباعي الأبعاد لدائرتين متطابقتين؛ وله هندسة المُربَّع نفسها مع لصق كل زوج من الأضلاع المتقابلة معًا. ثمة سطح آخر مُبلَّط بالمُربَّعات يُعرف باسم لانهائي أضلاع متجانف منتظَم، وله، إذا أسقط على فضاء ثلاثي الأبعاد ستة مُربَّعات تلتقي عند كل رأس. أما مسألة كيس الورق فتبحث عن أعظم حجمٍ يمكن احتواؤه بسطحين مُربَّعين ألصقا رأسًا إلى رأسٍ، وهذه مسألةٌ غير محلولة بعد. أما إذا ألصق السطحان المُربَّعان بنمط مختلف: رأس كل مُربَّع إلى منتصف ضلع المُربَّع الآخر، فينتج مُجسَّمُ يُشبه وسادة الدبابيس، يُسمَّى شوهاء. تُسمَّى الأسطح المُبلَّطة بعدد صحيح محدود من مُربَّعات شبيكة ثلاثية الأبعاد باسم شبيه الدومينو المتعدِّد.

العد

طالع أيضًا: عدد هرمي مربع ووفق

حلول أحجيتان لعد المربعات في تقفيصة مُربَّعة 3 × 3: في الأعلى: بشرط أن أضلاع المُربَّعات توازي أضلاع التقفيصة، ثمة 14 مربعاً. في الأسفل: تحوي التقفيصة المُربَّعة على ستة مربعات قطرية إضافية ليصبح عدد المُربَّعات الإجمالي 20 مُربَّعًا.

عدُّ المربعات مختلفة القدود الموجودة على شبيكة مُربَّعة أبعادها $n\times n$ من الأحاجي الرياضية الشائعة. تحوي تقفيصة مُربَّعة أبعادها $3\times 3$ أربعة عشر مُربَّعًا: 9 مُربَّعًا وحدة و4 مُربَّعات $2\times 2$، ومُربَّع واحد $3\times 3$. ويُحسب عدد المُربَّعات في هذه الأحجية بالعلاقة: $n(n+1)(2n+1)/6$، ويكون الناتج عددًا هرميًا مُربَّعًا. وبالنسبة لقيم $n=1,2,3,\dots$ وتعطى حلول هذه الأحجية للقيم $n=1,2,3,\dots$ بالمتتالية:

1، 5، 14، 30، 55، 91، 140، 204، 285, ...

ثمة تنويعة من هذه الأحجية تطلب عد المُربَّعات الموجودة على تقفيصة نقاط مُربَّعة $n\times n$ مع إمكانية استعمال مُربَّعات التي لا توازي محاورها أضلاع التقفيصة، تُسمَّى هذه المربعات مربعات قطرية لأن أقطارها منطبقة على محاور التقفيصة. تحوي التقفيصة السابقة ستة مُربَّعات قطرية إضافية ما يجعل العدد الإجمالي للمربعات 20 مُربعًا. ويُحسب عدد المُربَّعات القطرية في هذه الأحجية بالعلاقة:" $n^{2}(n^{2}-1)/12$، وتُسمَّى الأعداد الناتجة أعداد هرمية مُربَّعة رباعية الأبعاد. وتُعطى حلول هذه الأحجية للقيم $n=1,2,3,\dots$ بالمتتالية:

0، 1، 6، 20، 50، 105، 196، 336، 540, ...

ثمة 3 حلول لمسألة تقطيع مُربَّع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة وفق نسب الأبعاد التالية: 3:1 و3:2 و1.755:1.

تقطيع مُربَّع إلى مستطيلات متشابِهة مسألة عد تطلب حساب بالمربعات عدد المستطيلات مختلفة الهيئة المتشابهة التي يمكن تقطيع مُربَّع معلوم إليها. يُمكِن تقطيع أي مُربَّع إلى مستطيلين متشابهين بطريقة واحدة فقط هي تنصيفه، ولكن عند تقطيع المُربَّع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة، ثمة ثلاث نِسَب أبعاد مُمكِنة للمستطيلات: 3:1، و3:2 والنسبة اللدائنية التي تبلغ قرابة 1.755:1. عدد النسب الممكنة عند تقطي المُربَّع إلى $n$ مستطيلًا متشابهًا معروف لقيم $n$ الصغيرة، ولكن ليس ثمة صيغة عامة له، وهو بالنسبة لقيم $n=1,2,3,\dots$:

1، 1، 3، 11، 51، 245، 1372, ...

الوَفْق، ويُسمَّى أيضًا ترجمة من الإنجليزية «المُربَّع السحري»، مصفوفة مربعة يَكون مجموع الأعداد الموجبة في أي صف وأي عمود وفي كلا القطرين الرئيس والثانوي مساويًا لقيمة ثابتة معلومة. يُمكن التعبير عن هذه القيمة بدلالة بُعد المصفوفة $n\times n$ بالعلاقة:$n(n^{2}+1)/2$؛ وتُعطى القيم الموافقة لقيمة البعد $n=1,2,3,\dots$ بالمتتالية:

1، 5، 15، 34، 65، 111، 175، 260، 369، 505, ...

هندسات أخرى

مُربَّعات كروية مُتحِدة المركز على كرة

مُربَّعات زائدية مُتحِدة المركز (نموذج قرص بوانكاريه)

ثُمن الكرة مُثلَّث كروي منتظَم بزوايا قائمة.

يُمكن لسداسيات أضلاع منتظَمة بزوايا قائمة بالتبليط المسدسي من المرتبة الرابعة الذي تلتقي فيه أربعة سداسيات أضلاع فيه عند كل رأس.

يكون الفضاء مُسطَّحاً في الهندسة الإقليدية المألوفة، ويكون مجموع الزوايا الداخلية لأي رباعي أضلاع مُحدَّب 360°، وبما المُربَّع رباعي أضلاع منتظَم فإن زواياه متساوية، ويكون مقاس كل منها 90°. أمَّا في الهندسة الكروية، والزائديةفإن الفضاء يكون يكون منحنيًا، ولا يكون مجموع الزوايا الداخلية لرباعي الأضلاع المُحدَّب 360° أبداً، لذا لا وجود لرباعيات أضلاع ذات زوايا أربعة قائمة، ولكن ثمة رباعيات أضلاع منتظَمة في كلتا الهندسيتين، لكل منها أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا متساوية، وغالباً ما يُشار إليها بالمُربَّعات، مع أن بعض الرياضيين يُفضِّلون تجنُّب هذه التسمية لافتقار الرباعيات إلى الزوايا القائمة. ثمة أيضًا مُضلَّعات مُنتظَمة ذات زوايا قائمة في هذه الهندسات، ولكنها ليست رباعيات أضلاع.

يكون انحناء الفضاء مُوجباً محتتنًا في الهندسة الكروية، وأي رباعي أضلاع مُحدَّب فيه، سيكون مُضلعًا كرويًا حدوده أقواس من دوائر عظمى، ويتجاوز مجموع زواياه 360° بمقدار يتناسب طرداً مع مساحة سطح الرباعي، ويُسمى العيب الزاوي. تكون المُربَّعات الكروية الصغيرة إقليدية تقريباً، ويزداد مقاس زواياها مع زيادة مساحتها. ومن الحالات الخاصة وجوه المُكعَّب الكروي، فمقاس زوايا رؤوسه كلها 120°، ويَشمُل سُدس سطح الكرة. ثمة حالة خاصة أخرى هي نصف الكرة، وهي وجه لثنائي وجهٍ مُربَّع كروي له أربع مستقيمة (180°)؛ ويَقرُن إسقاط بيرس الخماسي لخرائط العالم، بتطبيق مُمتثِل، وجهين من هذا النوع بالفضاء الإقليدي. ويُعد ثُمن الكرة مُثلَّثا كرويًا مُنتظَمًا له ثلاثة أضلاع متساوية الطول وثلاث زوايا قائمة، ويٌبلِّط ثمانية منه الكرة مُشكِّلًا ثماني وجوه كروي. أما الهلال الكُروي فهو ذو قوسين منتظَم، له ضلعان نصف دائريين وزاويتين متساويتين عند الرؤوس المتقابلة قطريًا، يُغطِّي الهلال القائم ربع الكرة، وهو أحد وجوه رباعي الأقواس الذي يُصنَّف بأنه من مستكثرات الوجوه المنتظَمة.

الدوائر المترية بمسافات وفقًا لهندسة سيارة الأجرة (الأحمر) وإقليدس (الأرجواني) وشيبشيف (الأزرق).

يكون انحناء الفضاء سالبًا محتتنًا الهندسة الزائدية، ولن يتجاوز مجموع زوايا أي رباعي أضلاع مُحدَّب فيه 360°، ويُسمى الفرق عيبًا زاويًا ويكون متناسب طرداً مع مساحة سطح الرباعي. تصغر مقاسات زوايا المُربعات الزائدية مع زيادة مساحتها. وتشمل الحالات الخاصة المُربَّعات التي يكون قياس زواياها 360°/n من أجل قيم n أكبر من 4، يمكن لكل من هذه المُربعات تبليط المستوي الزائدي. يظهر المُربَّع المثالي في الحد اللانهائي، وهو مُربَّع أطوال أضلاعه الأربعة لانهائي ورؤوسه الأربعة نقاط مُثلى خارج المستوى الزائدي، ومقاسات زواياه 0°. للمُربَّع المثالي، مثل أي رباعي أضلاع مثالي، مساحة منتهية متناسبة طرداً مع العيب الزاوي. ومن الممكن أيضاً إنشاء مُضلَّع زائدي منتظَم عدد أضلاعه أكبر من وزواياه كلها قائمة عند كل رأس، ويمكن لهذه المُضلَّعات أن تُبلِّط المستوي الزائدي تبليطًا محتتنًا، ثنوي على التبليط هو التبليط بـ n عند كل رأس.

يمكن تعريف المستوي الإقليدي بدلالة مستوٍ إحداثي حقيقي بدالة مسافة إقليدية التي تحدِّد المسافة بين أي نقطتين في المستوي $(x_{1},y_{1})$ و $(x_{2},y_{2})$ بالعلاقة $\textstyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$. أُنشئت هندسات جديدة عند اعتماد دوال مسافة أخرى، وفي بعض هذه الهندسات، تصبح الأشكال التي قد تكون مُربَّعات إقليدية هي «دوائرَ»: مجموعة النقاط التي تبعد مسافة متساوية عن نقطة المركز. فالمُربَّعات المائلة بزاوية 45° على محاور الإحداثيات هي دوائر في هندسة سيارة الأجرة اعتمادًا على المسافة $L_{1}$ وقيمتها $|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$. وتكون المُربَّعات الموازية للمحاور بالطريقة نفسها دوائرَ اعتمادًا على مسافة شبشفية $L_{\infty }$ التي تساوي $\max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)$. وفي هذه القياسات، تُشكِّل النقاط التي تبعد مسافة $d$ عن نقطة ما مُربَّعاً موازياً للمحاور مركزه تلك النقطة وطول ضلعه طول ضلعه $2d$. ثمة شكل يُسمَّى المستديرة المُربَّعية يقع بين الدائرة والمُربَّع.

التطبيقات

بلاطات مُربَّعة

نسخة للوحة الفتاة ذات القرط اللؤلؤي مُقسَّمة إلى بكسلات.

رمز استجابة سريعة مُربَّع الشكل يُحيل لموقع ويكيبيديا.

استعمال المربَّعات شائع في صناعة البلاط من العصور القديمة، بل إن كلمة بلاطة الإنجليزية المعاصرة «tile» تعود في جذورها إلى اللاتينية «tessera» التي تعود بجذورها إلى اليونانية «τέσσαρες» (رومنة: téssares) والتي تعني أربعة، نسبةً إلى عدد زواياها. ويُشيع استعمال ورق الرسم البياني المطبوع لترئية البيانات والمعلومات بتبليط مُربَّعي على أساس منظومة إحداثيات ديكاَرتية.

البكسل أصغر عنصر في الرسوميات النقطية، ويُمثَّل بمربع في الصور التي تنتجها ماسحات الصور وآلات التصوير الرقمية أو التي تظهرها شاشات العرض الإلكترونية، وعادةً ما ترتب هذه المُربَّعات على تقفيصة مربَّعة يشغل كل مُربَّع أحد خلاياها بتبليطٍ مربَّع. تعتمد تقنيات الضغط القياسية للصور والتسجيلات المرئية، مثل تنسيق JPEG، على تقسيم الصور إلى فِدرٍ مُرَّبعة أكبر من البكسلات. كما تعتمد الأشجار الرباعية المستخدمة في ضغط البيانات والهندسة الحوسبية على مبدأ العَوْدية فتقسِّم عوديًا المُربَّعات إلى مُربَّعات أصغر حتى الوصول إلى حل بسيط للمشكلة. ومن استعمالات المُربَّع في التقانة أيضًا رموز الاستجابة السريعة، الشهير اختصارًا بالحرفين QR، وتكون عادةً ذات شكلٍ مُربَّع، وتتميّز بعلامات محاذاة بارزة على هيئة مُربَّعات في ثلاث زوايا. ومن تطبيقات المُربَّع أيضًا في التقانة نملة لانغتون التي تستعمل في سياق الخلايا ذاتية التشغيل، وفيها تتحرك نملة على شبيكة مُربَّعة ثنائية الأبعاد تتكون من مُربَّعات مُلوَّنة بالأبيض والأسود، تُغيَّر النملة لون المربع الذي تخطو إليه في حركتها القادمة وفق اتجاه حركتها الحالي.

استخدام تقفيصة مُربَّعات لقياس البُعد الكسوري لخارطة بريطانيا العظمى.

يعتمد حساب بُعد مِنكوفِسكي وبُلِغاند، والذي يُسمَّى أيضًا بُعد عد الصناديق على المربعات لتحديد البعد الكسوري لمجموعة في الفضاء الإقليدي أو الفضاء المتري، وتسمى المُربَّعات في هذا التطبيق «صناديق». ويمكن تحديد البُعد الكسوري للمجموعة بوضعها على تقفيصة منتظمَة التباعد، ثم عدّ المُربَّعات اللازمة لتشمل المجموعة كلها. يمكن الاعتماد على طرق رياضية لعد الصناديق إذا كانت التقفيصة دقيقة.

موقع معبد يونغ نينغ

لا يخفى حضور المخططات المربَّعة والقواعد المُربَّعة والمساحات المُربَّعة في العمارتين القديمة والحديثة بوصفها عناصر جوهرية في التصميم. تشمُل الأمثلة الأهرامات المصرية وأهرامات أمريكا الوسطى، ولا سيما في تيوتيهواكان، وزقورة جغا زنبيل بإيران. ويُعد التصميم الرباعي للحدائق الفارسية المسوّرة مثالًا بارزًا على توظيف المربع في الرمزية الدينية، وهو يحاكي الأنهار الأربعة في الجنة، وقد ألهم لاحقًا هياكل معمارية بارزة مثل تاج محل بالهند. كذلك شُيّدت الأبراج البوذية والقواعد المربعة للإسطبات البوذية، والباغودات شرق الآسيوية، والتي تتجه رمزياً نحو الجهات الأربع للبوصلة وتمتد نحو السماء. وتمثِّل المُربَّعات المتداخِلة المُطرَّزة في المندالة التبتية، كما في تصميم الإسطبة، نموذجًا مصغّرًا للكون وفق التصوّر الرمزي في الفلسفات البوذية. أبراج الحماية النورمانية، مثل برج لندن، المبني على شكل برج مُربَّع منخفِض، مثال عن العمارة الدفاعية. أما في العمارة الحديثة، فتغلب النزعة العملية على الاعتبارات الرمزية والجمالية، إذ يُعتمَد الشكل المربع أساسًا في تصميم غالبية ناطحات السحاب لما يوفّره من استقرار إنشائي وكفاءة وظيفية.

مندالة تبتية

دراسة في التركيب الحسابي، لتيو فان دوسبورخ

اعتمدت بعض تقنيات التصوير الضوئي نسبة عرض إلى ارتفاع مربعة، كما هو الحال في آلات تصوير شركة بولارويد، وآلات التصوير متوسطة الصيغة، وآلات التصوير الفورية. أما في الفنون التشكيلية الحديثة، فقد ارتبط الاستخدام المتكرّر والبارز للأشكال والإطارات المربعة بأعمال رسامين بارزين مثل جوزيف ألبرز وبيت موندريان وتيو فان دوسبورخ.

يظهر المُربَّع كذلك في الرياضة والفنون الأدائية. ففي حين تُعرَف بعض الميادين أو الساحات بأسماء توحي بأشكال أخرى، مثل ملعب البيسبول الذي يوصف بمعين الشكل وحلقة الملاكمة، فإنها في الأصل مُربَّعة الشكل. وتتجسّد وفي الفنون الاستعراضية هيئة المربع في رقصة الكادريل والرقص الرباعي، ويتوزّع فيها ثمانية أزواج لتشكيل جوانب مربع مثنى مثنى. كما استُخدم المُربَّع عنصرًا بنيويًا في المسرحية التلفزيونية المبسطة «أربعة» لـصمويل بيكيت، إذ يتحرك أربعة ممثلين فيها على أضلاع مُربَّع وقطريه.

رقعة شطرنج هندية من القرن السادس عشر.

أوستوماكيون

1615 طالع الأبراج

يُنسَب إلى رقعة اللعب المُربَّعة غو أيضًا تمثيل الأرض، ويُقال إن تقاطعات خطوطها البالغة 361 تماثل عدد أيام السنة. وَرِثت رقعة الشطرنج شكلها المربّع من لعبة سباق هندية تُشبه البِرْجيس، والتي بدورها نقلت هذا الشكل إلى لعبة الضامة. أما في لعبتين قديمتين لعبتا لبلاد الرافدين مصر القديمة، هما لعبة أور الملكية ولعبة سينيت على الترتيب، فلم تكن اللوحات مُربَّعة الشكل بل مستطيلة، ولكنها قُسِّمت إلى شبكة تقفيصة من المُربَّعات. ويظهر المُربَّع أيضًا في أحجية أوستوماكيون الإغريقية القديمة، فهي تشمُل، وفق بعض التفسيرات، إعادة ترتيب أجزاء مُربَّع في هيئة مُضلَّعات أصغر، على نحوٍ يُشبه لعبة التنغرام الصينية. ثمة مجموعة أخرى من الأحاجي تُعرف باسم الدومينو المُتعدِّد، تُلعب بقطع مُكوَّنة من مُربَّعات ألصق بعضها إلى بعض ضلعًا إلى ضلع. وفي السياق التاريخي، رُتِّبت الأبراج عند قراءة الطالع في العصور الوسطى وعصر النهضة بتخطيط مُربَّع أوروبا والشرق الأوسط والصين على السواء. وتشمُل الاستخدامات الترفيهية الأخرى للمربع فن الأوريغامي، الذي يعتمد على ورقٍ مُربَّع الشكل، ولعبة سكرابل التي تُلعب بحروف مكتوبة على قطع مربعة الشكل ترتبب في تقفيصة مربعة أبعادها 15x15. إضافةً إلى تقاليد في تضريب الألحفة وفيها تُخاط قطع مربعة من القماش لتشكيل أنماط زخرفية متكررة. تمس العديد من الأحاجي الرياضية المربع باعتمادها صفيفات المُربَّعة تُملأ بالأرقام، كما في لعبة سودوكو، أو بشكلها المُعمَّم المُسمَّى المُربَّع اللاتيني، بالإضافة إلى أحاجي الأوهام البصرية مثل أحجية المُربَّع المفقود ومفارقة لوحة الشطرنج.

العلم المُربَّع لكانتون فَودِن بسويسرا.

وَفِلٌ مُربَّع

المٌربَّعات عنصر شائع في تصميم الرسوميات، يُستخدَم لإضفاء إحساس بالاستقرار والتناظر والنظام. وفي الشِّعارة، يكون الركن، وهو عنصر تصميمي يقع في الجزء العلوي الأيسر من الدرع، عادةً ذا شكل مربع، كما يُطلق على العلم مربع الشكل اسم "راية". ويُعَدّ علم سويسرا مثالًا بارزًا على الأعلام المُربَّعة، شأنه شأن أعلام الكانتونات السويسرية.

يَظهر المُربَّع أيضًا في الاستخدامات العملية اليومية، مثل براغي روبرتسون صاحب الرأس مُربَّع الشكل.

يظهر المُربَّع في مجال الأطعمة، فغالبًا ما يكون شكل المُتكسِّرات وشرائح الجبن مُربَّعة، حالة حال الوَفِل. ومن الأطعمة التي اكتسبت اسمها من شكلها المربع مُربَّعات الكراميل، ومربع التمر، ومربع الليمون، إضافةً إلى النقانق المربَّعة والجبن المُربَّع الشرقي.

توجد المُربَّعات في الطبيعة أيضًا، في الكيمياء الفراغية مثلًا، ثمة بنية كيميائية تتوضع فيها الذرات على زوايا مربَّع، اسمها البنية الجزيئية المستوية المُربَّعة، ومن الأمثلة عنها رباعي فلوريد الزينون.

انظر أيضًا

• مكعب
• نجمة رباعية
• مبرهنة فيثاغورس

المراجع

فهرس الإحالات

المنشورات

بالعربية

بالإنجليزية

الوب

بالعربية

بالإنجليزية

ثبت المراجع

المقالات المُحكَّمة

بالإنجليزية

• J. Collingwood Bruce (1850). "On the Structure of the Norman Fortress in England". Journal of the British Archaeological Association (بالإنجليزية). 6 (3): 209–228. DOI:10.1080/00681288.1850.11886925. ISSN:0068-1288. OCLC:7214075337. QID:Q59636104.
• G. A. Miller (1903). "On the Groups of the Figures of Elementary Geometry". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 10 (10): 215–218. DOI:10.1080/00029890.1903.11997111. ISSN:0002-9890. JSTOR:2969176. MR:1515975. OCLC:5545756265. QID:Q141122963.
• G. A. Miller (1929). "Graphical methods and the history of mathematics". Tohoku Mathematical Journal (بالإنجليزية). 31 (292–295). ISSN:0040-8735. QID:Q141181513.
• Edward Kasner (1933). "Squaring the circle". The Scientific Monthly (بالإنجليزية). 37 (1): 67–71. Bibcode:1933SciMo..37...67K. ISSN:0096-3771. JSTOR:15685. OCLC:9985654727. QID:Q141193114.
• H. S. M. Coxeter (1938). "Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimension, and their Topological Analogues". Proceedings of the London Mathematical Society (بالإنجليزية). S2-43 (1): 33–62. DOI:10.1112/plms/s2-43.1.33. ISSN:0024-6115. MR:1575418. OCLC:6907724710. QID:Q141214398.
• H. G. Eggleston (1958). "Figures Inscribed in Convex Sets". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 65 (2): 76. DOI:10.2307/2308878. ISSN:0002-9890. JSTOR:2308878. MR:0097768. OCLC:6067020482. Zbl:0082.15803. QID:Q56340994.
• Roman Ghirshman (1961). "The Ziggurat of Tchoga-Zanbil". Scientific American (بالإنجليزية). 204 (1): 77–68. Bibcode:1961SciAm.204a..68G. DOI:10.1038/scientificamerican0161-68. ISSN:0036-8733. JSTOR:24940741. OCLC:9987484514. QID:Q141239081.
• James R. Newman (1961). "Reviewed Work: Board and Table Games from Many Civilizations by Bell R. C." Scientific American (بالإنجليزية). 205 (2): 155–161. ISSN:0036-8733. JSTOR:24937045. QID:Q141247103.
• Francis Scheid (1961). "Square circles". The Mathematics Teacher (بالإنجليزية). 54 (5): 307–312. DOI:10.5951/MT.54.5.0307. ISSN:0025-5769. JSTOR:27956386. OCLC:9975509873. QID:Q141216774.
• H. S. M. COXETER; L. FEJES TÒTH (1963). "The total length of the edges of a non-Euclidean polyhedron with triangular faces". Quarterly Journal of Mathematics (بالإنجليزية). 14 (1): 273–284. DOI:10.1093/QMATH/14.1.273. ISSN:0033-5606. OCLC:4644086311. Zbl:0129.37403. QID:Q105709614.
• Charles W. Millard (1972). "Mondrian". The Hudson Review (بالإنجليزية). 25 (2): 270–274. DOI:10.2307/3849001. ISSN:0018-702X. JSTOR:3849001. OCLC:5543621974. QID:Q141246189.
• George W. Bright (1978). "Using Tables to Solve Some Geometry Problems". The Arithmetic Teacher (بالإنجليزية). 25 (8): 39–43. DOI:10.5951/AT.25.8.0039. ISSN:0004-136X. JSTOR:41190469. OCLC:425248744. QID:Q141221982.
• D. R. Cox (1978). "Some Remarks on the Role in Statistics of Graphical Methods". Journal of the Royal Statistical Society Series C: Applied Statistics (بالإنجليزية). 27 (1): 4–9. DOI:10.2307/2346220. ISSN:0035-9254. JSTOR:2346220. OCLC:7939981403. QID:Q141180855.
• Doris Schattschneider (1978). "The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 85 (6): 439–450. DOI:10.2307/2320063. ISSN:0002-9890. JSTOR:2320063. MR:0477980. OCLC:425901629. Zbl:0381.20036. QID:Q56675222.
• G. D. Chakerian (1979). "A Distorted View of Geometry". Mathematical plums. Dolciani mathematical expositions (بالإنجليزية): 130–150. ISBN:978-1-4704-5716-7. QID:Q137661439.
• Martin Gardner (1980). "Mathematical Games: Taxicab geometry offers a free ride to a non-Euclidean locale". Scientific American (بالإنجليزية). 243 (5): 18–34. DOI:10.1038/scientificamerican1280-18. ISSN:0036-8733. JSTOR:24966450. QID:Q141214683.
• Leon Gerber (1980). "Napoleon's Theorem and the Parallelogram Inequality for Affine-Regular Polygons". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 87 (8): 644–648. DOI:10.1080/00029890.1980.11995110. ISSN:0002-9890. JSTOR:2320952. MR:0600923. OCLC:5545525262. QID:Q130038577.
• G. Stiny; W. J. Mitchell (1980). "The grammar of paradise: On the generation of Mughul gardens". Environment and Planning B: Planning and Design (بالإنجليزية). 7 (2): 209–226. Bibcode:1980EnPlB...7..209S. DOI:10.1068/B070209. ISSN:0265-8135. OCLC:11174808090. QID:Q133831582.
• Janet Duffin; Mary Patchett; Ann Adamson; Neil Simmons (1984). "Old squares new faces". Mathematics in School (بالإنجليزية). 13 (5): 2–4. ISSN:0305-7259. JSTOR:30216270. OCLC:425286575. QID:Q141216755.
• R. J. Gardner (1985). "A problem of Sallee on equidecomposable convex bodies". Proceedings of the American Mathematical Society (بالإنجليزية). 94: 329–332. DOI:10.1090/S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN:0002-9939. JSTOR:2045399. OCLC:5581322379. QID:Q141145336.
• Michael T. Battista (1993). "Mathematics in Baseball". The Mathematics Teacher (بالإنجليزية). 86 (4): 336–342. DOI:10.5951/MT.86.4.0336. ISSN:0025-5769. JSTOR:27968332. OCLC:425377508. QID:Q141247063.
• Saburo Sugiyama (1993). "Worldview Materialized in Teotihuacan, Mexico". Latin American Antiquity (بالإنجليزية). 4 (2): 103–129. DOI:10.2307/971798. ISSN:1045-6635. JSTOR:971798. OCLC:5791765935. QID:Q109618597.
• Ian Stewart (1996). "A Guide to Computer Dating". Scientific American (بالإنجليزية). 275 (5): 116–118. ISSN:0036-8733. JSTOR:24993455. OCLC:9986862892. QID:Q141222793.
• Martin Gardner (1997). "Some Surprising Theorems About Rectangles in Triangles". Math Horizons (بالإنجليزية). 5 (1): 18–22. DOI:10.1080/10724117.1997.11975023. ISSN:1072-4117. OCLC:9988205104. QID:Q141145237.
• David Fowler; Eleanor Robson (1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context". Historia Mathematica (بالإنجليزية). 25 (4): 366–378. DOI:10.1006/HMAT.1998.2209. ISSN:0315-0860. OCLC:4931710447. Zbl:0917.01005. QID:Q54244032.
• Erich Friedman (1998). "Packing Unit Squares in Squares: A Survey and New Results" (PDF). Electronic Journal of Combinatorics (بالإنجليزية). 5: 1–24. DOI:10.37236/28. ISSN:1077-8926. MR:1668055. QID:Q141197077.
• David Pimm (2001). "Some Notes on Theo van Doesburg (1883-1931) and His "Arithmetic Composition 1."". For the Learning of Mathematics (بالإنجليزية). 21 (2): 31–36. JSTOR:40248360. OCLC:425584270. QID:Q141246386.
• M. M. Postnikov (2000). "The Problem of Squarable Lunes". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 107 (7): 645–651. DOI:10.2307/2589121. ISSN:0002-9890. JSTOR:2589121. OCLC:5555816330. Zbl:0983.51017. QID:Q58135082.
• A. Gajardo; A. Moreira; E. Goles (2002). "Complexity of Langton's ant". Discrete Applied Mathematics (بالإنجليزية). 117 (1–3): 41–50. arXiv:nlin/0306022. DOI:10.1016/S0166-218X(00)00334-6. ISSN:0166-218X. OCLC:4928273216. S2CID:1107883. Zbl:1050.68047. QID:Q56115563.
• Flora Vafea (2002). ""The mathematics of pyramid construction in ancient Egypt". Mediterranean Archaeology and Archaeometry (بالإنجليزية). 2 (1): 111–125. ISSN:2241-8121. QID:Q141223983.
• Gwen L. Fisher (2003). "Quilt Designs Using Non-Edge-to-Edge Tilings by Squares". Meeting Alhambra: ISAMA-BRIDGES 2003 (بالإنجليزية): 265–272. QID:Q141212456.
• Qinghua Guo (2004). "From Tower to Pagoda: Structural and Technological Transition". Construction History (بالإنجليزية). 20: 3–19. ISSN:0267-7768. JSTOR:41613875. OCLC:9973715260. QID:Q141240591.
• Colin Foster (2005). "Slippery Slopes". Mathematics in School (بالإنجليزية). 34 (3): 33–34. ISSN:0305-7259. JSTOR:30215816. OCLC:9988497929. QID:Q141254877.
• Janet Hart Frost; Michael D. Dornoo (2006). "Take Time for Action: Similar Shapes and Ratios". Mathematics Teaching in the Middle School (بالإنجليزية). 12 (4): 222–224. DOI:10.5951/MTMS.12.4.0222. ISSN:1072-0839. JSTOR:41182391. OCLC:9990113799. QID:Q141128724.
• Michael de Villiers (2007). "An example of the discovery function of proof". Mathematics in School (بالإنجليزية). 36 (4): 9–11. ISSN:0305-7259. JSTOR:30216041. OCLC:9972719556. QID:Q141145434.
• Johannes Thomann (2008). "Square Horoscope Diagrams In Middle Eastern Astrology And Chinese Cosmological Diagrams: Were These Designs Transmitted Through The Silk Road?". The Journey of Maps and Images on the Silk Road. Brill's Inner Asian Library (بالإنجليزية): 97–118. DOI:10.1163/ej.9789004171657.i-248.45. ISBN:978-90-04-17165-7. QID:Q141248479.
• Erica Klarreich (2009). "Glimpses of genius: Mathematicians and historians piece together a puzzle that Archimedes pondered". Science News (بالإنجليزية). 165 (20): 314–315. DOI:10.2307/4015223. ISSN:0036-8423. JSTOR:4015223. QID:Q141246505.
• Stephen Luecking (2010). "A man and his square: Kasimir Malevich and the visualization of the fourth dimension". Journal of Mathematics and the Arts (بالإنجليزية). 4 (2): 87–100. DOI:10.1080/17513471003744395. ISSN:1751-3472. OCLC:10309985321. QID:Q141244012.
• Paolo Maraner (2010). "A Spherical Pythagorean Theorem". The Mathematical Intelligencer (بالإنجليزية). 32 (3): 46–50. DOI:10.1007/S00283-010-9152-9. ISSN:0343-6993. MR:2721310. OCLC:10957588010. Zbl:1206.51016. QID:Q114230186.
• Igor Pak; Jean-Marc Schlenker (2010). "Profiles of Inflated Surfaces". Journal of Nonlinear Mathematical Physics (بالإنجليزية). 17: 145–157. arXiv:0907.5057. DOI:10.1142/S140292511000057X. ISSN:1402-9251. MR:2679444. OCLC:10131264500. QID:Q141214428.
• Ping Xu (2010). "The mandala as a cosmic model used to systematically structure the Tibetan Buddhist landscape". Journal of Architectural and Planning Research (بالإنجليزية). 27 (3): 181–203. ISSN:0738-0895. JSTOR:43030905. OCLC:9976469785. QID:Q141242308.
• Tai-Wei Kan; Chin-Hung Teng; Mike Y. Chen (2011). "QR Code Based Augmented Reality Applications". Handbook of Augmented Reality (بالإنجليزية): 339–354. DOI:10.1007/978-1-4614-0064-6_16. ISBN:978-1-4614-0064-6. QID:Q141235303.
• A. F. Beardon (2012). "What is the most symmetric quadrilateral?". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 96 (536): 207–212. DOI:10.1017/S0025557200004435. ISSN:0025-5572. JSTOR:23248552. OCLC:11043029566. QID:Q141128672.
• A. M. Fink (2014). "98.30 The isoperimetric inequality for quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 98 (543): 504. DOI:10.1017/S0025557200008275. ISSN:0025-5572. JSTOR:24496543. OCLC:9989932122. QID:Q141118328.
• Benjamin Matschke (2014). "A Survey on the Square Peg Problem" (PDF). Notices of the American Mathematical Society (بالإنجليزية). 61 (4): 346–352. DOI:10.1090/NOTI1100. hdl:21.11116/0000-0004-15B8-5. ISSN:0002-9920. OCLC:5558749388. Zbl:1338.51017. QID:Q28315803.
• Megan H. Wickstrom (2014). "Piecing It Together". Teaching Children Mathematics (بالإنجليزية). 21 (4): 220–227. DOI:10.5951/teacchilmath.21.4.0220. ISSN:1073-5836. JSTOR:10.5951/teacchilmath.21.4.0220. OCLC:5828697321. QID:Q141250800.
• Martin Lambers (2016). "Mappings between Sphere, Disc, and Square". Journal of Computer Graphics Techniques (بالإنجليزية). 5 (2): 1–21. ISSN:2331-7418. QID:Q141221201.
• James Mai (2016). "Planes and Frames: Spatial Layering in Josef Albers' Homage to the Square Paintings". Bridges Finland 2016: Mathematics, Music, Art, Architecture, Education, Culture (بالإنجليزية): 233–240. ISBN:978-1-938664-19-9. QID:Q141245795.
• Yuuka Nakamura; Shigeyuki Okazaki (2016). "The Spatial Composition of Buddhist Temples in Central Asia, Part 1: The Transformation of Stupas" (PDF). Journal of Education for International Understanding (بالإنجليزية). 6: 31–43. DOI:10.14993/00001088. ISSN:1975-5244. OCLC:1541688352. QID:Q141239353.
• Poo-Sung Park (2016). "Regular Polytopic Distances" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 16: 227–232. ISSN:1534-1178. MR:3507218. QID:Q141130388.
• Staffan Angere (2017). "The Square Circle". Metaphilosophy (بالإنجليزية). 48 (1–2): 79–95. DOI:10.1111/meta.12224. ISSN:0026-1068. OCLC:6928047025. QID:Q141181268.
• Stephan Berendonk (2017). "Ways to square the parabola – a commented picture gallery". Mathematische Semesterberichte (بالإنجليزية). 64: 1–13. DOI:10.1007/s00591-016-0173-0. ISSN:0720-728X. MR:3629442. OCLC:10583749481. QID:Q141195340.
• Carsten Burstedde; Johannes Holke; Tobin Isaac (2018). "On the Number of Face-Connected Components of Morton-Type Space-Filling Curves". Foundations of Computational Mathematics (بالإنجليزية). 19 (4): 843–868. arXiv:1505.05055. DOI:10.1007/S10208-018-9400-5. ISSN:1615-3375. MR:3989715. OCLC:10957912252. Zbl:1422.65243. QID:Q129130117.
• Alicia Chester (2018). "The Outmoded Instant: From Instagram to Polaroid". Afterimage (بالإنجليزية). 45 (5): 10–15. DOI:10.1525/AFT.2018.45.5.10. ISSN:0300-7472. OCLC:7964767109. QID:Q128617266.
• Christopher Simon Iobst (2018). "Shapes and Their Equations: Experimentation with Desmos". Ohio Journal of School Mathematics (بالإنجليزية). 79 (1): 23–91. DOI:10.18061/ojsm.4113. ISSN:2472-5986. OCLC:10973913803. QID:Q141151867.
• Tiago Montanher; Arnold Neumaier; Mihály Csaba Markót; Ferenc Domes; Hermann Schichl (2018). "Rigorous packing of unit squares into a circle". Journal of Global Optimization (بالإنجليزية). 73 (3): 547–565. DOI:10.1007/S10898-018-0711-5. ISSN:0925-5001. MR:3916193. OCLC:10958008065. PMC:6394747. PMID:30880874. Zbl:1415.52012. QID:Q64884173.
• Fan Chung; Ronald Graham (2019). "Efficient Packings of Unit Squares in a Large Square". Discrete and Computational Geometry (بالإنجليزية). 64: 690–699. DOI:10.1007/s00454-019-00088-9. ISSN:0179-5376. OCLC:8678318412. QID:Q141202428.
• Gaven J. Martin (2019). "Random ideal hyperbolic quadrilaterals, the cross ratio distribution and punctured tori". Journal of the London Mathematical Society (بالإنجليزية). 100 (3): 851–870. arXiv:1807.06202. DOI:10.1112/JLMS.12249. ISSN:0024-6107. OCLC:8385631342. Zbl:1442.30043. QID:Q127654658.
• Mamuka Meskhishvili (2021). "Cyclic averages of regular polygonal distances" (PDF). International Journal of Geometry (بالإنجليزية) (1): 58 - 65. ISSN:2247-9880. MR:4193377. QID:Q141133513.
• Katherine A. Seaton (2021). "Textile D-forms and D4d". Journal of Mathematics and the Arts (بالإنجليزية). 15 (3–4): 207–217. arXiv:2103.09649. DOI:10.1080/17513472.2021.1991134. ISSN:1751-3472. OCLC:10310401622. QID:Q141216575.
• Cam McLeman; Erin McNicholas; Colin Starr (2022). Explorations in Number Theory: Commuting through the Numberverse. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). Cham: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-030-98931-6. ISBN:978-3-030-98931-6. OCLC:1301899746. QID:Q141189895.
• Luke Sciarappa; Jim Henle (2022). "Square Dance from a Mathematical Perspective". The Mathematical Intelligencer (بالإنجليزية). 44 (1): 58–64. DOI:10.1007/s00283-021-10151-0. ISSN:0343-6993. OCLC:1556844552. PMC:8889875. PMID:35250151. QID:Q141202884.
• Manuel Estévez; Érika Roldán; Henry Segerman (2023). "Surfaces in the Tesseract". Proceedings of Bridges 2023: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture (بالإنجليزية): 441–444. arXiv:2311.06596. ISBN:978-1-938664-45-8. QID:Q141127240.
• Mikkel Abrahamsen (2024). "Hardness of Packing, Covering and Partitioning Simple Polygons with Unit Squares". 2024 IEEE 65th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS) (بالإنجليزية): 1355–1371. arXiv:2404.09835. DOI:10.1109/FOCS61266.2024.00087. ISBN:979-8-3315-1675-8. OCLC:1579437263. QID:Q141211948.
• John Mason; Erika Roldan; Skye Rothstein (2025). "Changing the Topology of Polyominoids Through Rigid Origami". Bridges Eindhoven: bridges 2025 conference proceedings (بالإنجليزية): 503–506. ISBN:978-1-938664-51-9. QID:Q141221911.

الكتب

بالعربية

• إقليدس (1594)، كتاب تحرير الأصول لأوقليدس، ترجمة: نصير الدين الطوسي، روما: مطبعة مدتشي الشرقية، OCLC:16750170، QID:Q141142349{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك: (إنجليزي - فرنسي - عربي)، سلسلة المعاجم الموحدة (3) (بالعربية والإنجليزية والفرنسية)، تونس: مكتب تنسيق التعريب، 1990، OCLC:4769958475، QID:Q114600477
• الموسوعة العربية العالمية (ط. 2). الرياض: مؤسسة أعمال الموسوعة للنشر والتوزيع. 1999. ISBN:978-9960-803-32-6. OCLC:43587964. QID:Q124554520.
• منير البعلبكي؛ رمزي البعلبكي (2008). المورد الحديث: قاموس إنكليزي عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: دار العلم للملايين. ISBN:978-9953-63-541-5. OCLC:405515532. OL:50197876M. QID:Q112315598.
• محمد بن موسى الخوارزمي (2008). مفاتيح العلوم. تحقيق: عبد الأمير الأعسم. بيروت: دار المناهل للطباعة والنشر والتوزيع. ISBN:978-9953-448-49-7. OCLC:829706331. QID:Q139604404.
• أحمد شفيق الخطيب (2018). معجم المصطلحات العلمية والفنية والهندسية الجديد: إنجليزي - عربي موضح بالرسوم (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ISBN:978-9953-33-197-3. OCLC:1043304467. OL:19871709M. QID:Q12244028.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
• معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، 2019، OCLC:1413794243، QID:Q125363697

بالإنجليزية

• James B. Thomson (1845), An Elementary Treatise on Algebra: Theoretical and Practical (بالإنجليزية) (2nd ed.), London: Longman, Brown, Green, Longmans, & Roberts, OCLC:561676138, QID:Q141120417
• Charles Boutell (1863), Heraldry, Historical and Popular (بالإنجليزية) (2nd ed.), London: Winsor & Newton, OCLC:11926398, QID:Q141255237
• Olaus Henrici (1879), G. Carey Foster FCS FRS; Philip Magnus (eds.), Elementary geometry: Congruent figures, London science class-books (بالإنجليزية), London: Longman, OCLC:568703725, QID:Q137749215
• William Symes Andrews (1917), Magic Squares Cubes (بالإنجليزية) (2nd ed.), Chicago: Open Court Publishing Company, OCLC:1048989184, QID:Q141222853
• Charles Godfrey; A. W. Siddons (1918), Elementary geometry: practical and theoretical (بالإنجليزية) (3rd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, OCLC:1123306367, QID:Q141118036
• R. Schorling; John R. Clark; H. W. Carter (1926), Modern mathematics: An elementary course (بالإنجليزية), London: George G. Harrap and Co., OCLC:314806022, QID:Q141118073
• Barnett Rich (1963). Schaum's outline of principles and problems of plane geometry with coordinate geometry. Schaum's outline series (بالإنجليزية). New York City: McGraw-Hill Education. ISBN:978-0-07-052245-9. OCLC:816742. QID:Q141118005. {{استشهاد بكتاب}}: لا توافق بين ردمك والتاريخ (help)
• C. R. Wylie (1970), Introduction to projective geometry (بالإنجليزية), New York City: McGraw Hill Book Company, OCLC:802945951, QID:Q141130146
• H.S.M. Coxeter (1973). Regular Polytopes. Dover books on advanced mathematics (بالإنجليزية) (3rd ed.). New York: Dover Publications. ISBN:978-0-486-61480-9. LCCN:73084364. OCLC:422715817. OL:24229883M. QID:Q135479626.
• John A. Thorpe (1979). Elementary Topics in Differential Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4612-6153-7. ISBN:978-0-387-90357-6. MR:0528129. OCLC:852789055. QID:Q141214332.
• Ansel Adams; Robert Baker (1980), The camera (بالإنجليزية), Boston: New York Graphic Society, OCLC:1028863953, QID:Q141245394
• L. C. Grove; C. T. Benson (1985). Finite Reflection Groups. Graduate Texts in Mathematics (99) (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York City: Springer New York. DOI:10.1007/978-1-4757-1869-0. ISBN:978-0-387-96082-1. MR:0777684. OCLC:853265436. QID:Q141127377.
• George K. Francis (1987). A topological picturebook (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. ISBN:978-0-387-96426-3. LCCN:86031400. MR:0880519. OCLC:14966322. QID:Q141130197.
• Branko Grünbaum; G. C. Shephard (1987). Tilings and patterns (بالإنجليزية). New York City: W. H. Freeman and Company. ISBN:978-0-7167-1193-3. OCLC:13092426. QID:Q141197444.
• Walter Gellert; Siegfried Gottwald; Manfred Hellwich; Herbert Kästner; Herbert Küstner, eds. (1989). The VNR concise encyclopedia of mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York City: Van Nostrand. ISBN:978-0-442-20590-4. LCCN:88026992. OCLC:18986996. OL:2049524M. QID:Q120986539.
• Ivan F. Jesperson (1989). Fat-back & molasses: a collection of favourite old recipes from Newfoundland & Labrador (بالإنجليزية). St. John's: Jesperson Press. ISBN:978-0-920502-04-4. OCLC:37863308. QID:Q141246346.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان (link)
• John Simpson; Edmund Weiner, eds. (1989). The Oxford English Dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-861186-8. OCLC:611410378. OL:18318791M. QID:Q120829013.
• Karen Pryor (1990). Math and science for young children (بالإنجليزية). Albany: Delmar Publishers. ISBN:978-0-8273-3402-1. OCLC:20671575. QID:Q141254977.
• Hallard T. Croft; Kenneth Falconer; Richard K. Guy (1991). Unsolved problems in intuitive mathematics. Problem Books in Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. ISBN:978-0-387-97506-1. OCLC:1151663503. QID:Q141212571.
• John Stillwell (1992). Geometry of Surfaces. Universitext (بالإنجليزية). New York City: Springer New York. DOI:10.1007/978-1-4612-0929-4. ISBN:978-1-4612-0929-4. MR:1171453. OCLC:958524433. QID:Q141222931.
• Solomon W. Golomb (1994). Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings. Princeton Science Library (111) (بالإنجليزية) (2nd ed.). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-08573-9. MR:1291821. OCLC:1035674496. OL:1430366M. QID:Q105767734.
• Hans Sagan (1994). Space-filling curves. Universitext (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4612-0871-6. ISBN:978-0-387-94265-0. MR:1299533. OCLC:29791898. QID:Q141192913.
• Serge G. Vlăduț (1995). Kronecker's Jugendtraum and modular functions. Studies in the development of modern mathematics (2) (بالإنجليزية). Luxembourg: Gordon and Breach. ISBN:978-2-88124-754-5. LCCN:90026319. MR:1121266. OCLC:832713107. QID:Q141202375.
• John Horton Conway; Richard K. Guy (1996). The Book of Numbers (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN:978-0-387-97993-9. LCCN:95032588. OCLC:32854557. OL:21579010M. QID:Q132508396.
• Joseph D. E. Konhauser; Daniel J. Velleman; Stan Wagon (1997). Which way did the bicycle go? and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathematical expositions (18) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-325-2. LCCN:95081495. OCLC:59629501. QID:Q141120569.
• B. A. Sethuraman (1997). Rings, Fields, and Vector Spaces: An introduction to abstract algebra via geometric constructability. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Springer New York. DOI:10.1007/978-1-4757-2700-5. ISBN:978-1-4757-2700-5. OCLC:851828566. QID:Q141191885.
• George E. Martin (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4612-0629-3. ISBN:978-0-387-98276-2. OCLC:37004495. QID:Q141191859.
• David A. Singer (1998). Geometry: Plane and Fancy. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4612-0607-1. ISBN:978-0-387-98306-6. MR:1490036. OCLC:39031893. QID:Q29040845.
• Frank Tapson (1999). The Oxford mathematics study dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-914567-6. OCLC:1194925294. QID:Q136483779.
• Witold Rybczynski (2000). One good turn: a natural history of the screwdriver and the screw (بالإنجليزية). New York City: Charles Scribner's Sons. ISBN:978-0-684-86729-8. OCLC:44880535. QID:Q141255723.
• Barry A. Cipra (2001). "In the Fold: Origami Meets Mathematics" (PDF). SIAM News (بالإنجليزية). 34: 1–4. QID:Q141249184.
• Edward Ott (2002). Chaos in dynamical systems (بالإنجليزية) (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-81196-5. OCLC:48383474. QID:Q141196968.
• Iain E. G. Richardson (2002). Video codec design: developing image and video compression systems (بالإنجليزية). Chichester: Wiley. ISBN:978-0-471-48553-7. OCLC:48754204. QID:Q141223948.
• Gabor Toth (2002). Glimpses of Algebra and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York: Springer New York. DOI:10.1007/B98964. ISBN:978-0-387-22455-8. MR:1901214. OCLC:1165468602. QID:Q134885238.
• Mellissa Hart (2006). Sara Connolly (ed.). A guide for using Kira-kira in the classroom: based on the novel written by Cynthia Kadohata (بالإنجليزية). Westminster: Teacher Created Resources. ISBN:978-1-4206-3003-9. OCLC:70876693. QID:Q141250839.
• Hanan Samet (2006). Foundations of Multidimensional and Metric Data Structures (بالإنجليزية). Burlington: Elsevier. ISBN:978-0-08-091907-2. OCLC:701704003. QID:Q141225483.
• William H. Barker,; Roger Howe (2007). Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. DOI:10.1090/mbk/047. ISBN:978-0-8218-3900-3. MR:2362745. OCLC:150256520. QID:Q141189979.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
• John H. Conway; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strauss (2008). The Symmetries of Things (بالإنجليزية). Wellesley: A K Peters, Ltd. ISBN:978-1-56881-220-5. LCCN:2007046446. OCLC:181862605. QID:Q135420514.
• Michael Davis (2008). The Geometry and Topology of Coxeter Groups. London Mathematical Society monographs (32) (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-13138-2. JSTOR:10.2307/j.ctt1r2fnf. OCLC:77485786. QID:Q136227262.
• Zalman Usiskin; Jennifer Griffin; David Witonsky; Edwin Willmore (2008). The classification of quadrilaterals: a study of definition. Research in mathematics education series (بالإنجليزية). Charlotte: Information Age Publishing. ISBN:978-1-60752-600-1. OCLC:254166189. QID:Q136140485.
• Francis Bonahon (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library (49) (بالإنجليزية). Providence, Princeton: American Mathematical Society, Institute for Advanced Study. ISBN:978-0-8218-4816-6. OCLC:306803417. QID:Q141223026.
• Joe Edley; John D. Williams (2009). Everything Scrabble: crossword game (بالإنجليزية) (3rd ed.). New York City: Pocket Books. ISBN:978-1-4165-6175-0. OCLC:369139753. QID:Q141249846.
• Martin Aigner; Günter M. Ziegler (2010). Proofs from THE BOOK (بالإنجليزية) (4th ed.). Berlin: Springer Berlin Heidelberg. DOI:10.1007/978-3-642-00856-6. ISBN:978-3-642-00856-6. OCLC:663096467. OL:25554662M. Zbl:1185.00001. QID:Q56228603.
• Marcel Berger (2010). Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry (بالإنجليزية). Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. DOI:10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN:978-3-540-70997-8. LCCN:2010920837. MR:2724440. OCLC:280446977. Zbl:1232.51001. QID:Q56449729.
• William B. Worthen (2010). Drama: between poetry and performance (بالإنجليزية). Chichester: Wiley-Blackwell. ISBN:978-1-4051-5341-6. OCLC:429634737. QID:Q141248022.
• Paul J. Nahin (2010). An imaginary tale: The Story of √− 1. Princeton Science Library (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-14600-3. OCLC:502415406. QID:Q141152282.
• D. Salomon (2011). The computer graphics manual. Texts in computer science (بالإنجليزية). London: Springer Science+Business Media. ISBN:978-0-85729-886-7. OCLC:733237060. QID:Q141180879.
• John Vince (2011). Rotation Transforms for Computer Graphics (بالإنجليزية). London: Springer Science+Business Media. Bibcode:2011rtfc.book.....V. DOI:10.1007/978-0-85729-154-7. ISBN:978-0-85729-154-7. OCLC:707187006. QID:Q141152027.
• Walter D. Wallis; John C. George (2011). Introduction to combinatorics. Discrete Mathematics and Its Applications (بالإنجليزية). Boca Raton: CRC Press. ISBN:978-1-4398-0622-7. OCLC:700638073. QID:Q141252189.
• Ronald J. Gillespie; István Hargittai (2012). The VSEPR model of molecular geometry. Dover books on science (بالإنجليزية). Mineola: Dover Publications. ISBN:978-0-486-48615-4. OCLC:721885823. QID:Q141243886.
• Edward Popko (2012). Divide spheres: Geodesics and the orderly subdivision of the sphere (بالإنجليزية). Boca Raton: CRC Press. ISBN:978-1-4665-0430-1. OCLC:798122361. QID:Q134988670.
• Dawn Yanagihara; Lucy Schaeffer (2012). Waffles: sweet, savory, simple (بالإنجليزية). San Francisco: Chronicle Books. ISBN:978-1-4521-3841-1. OCLC:783157720. QID:Q141248963.
• Roger A. Johnson (2013). Advanced Euclidean Geometry. Dover books on mathematics (بالإنجليزية). Newburyport: Dover Publications. ISBN:978-0-486-15498-5. OCLC:899157957. QID:Q136527437.
• Bruce Kraig (2013). Street food around the world: an encyclopedia of food and culture (بالإنجليزية). Santa Barbara: ABC-CLIO. ISBN:978-1-59884-954-7. OCLC:823041578. QID:Q141248136.
• Daniel Rosenthal; David Rosenthal; Peter Rosenthal (2014). A Readable Introduction to Real Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية). Cham: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-319-05654-8. ISBN:978-3-319-05654-8. OCLC:883733706. Zbl:1358.00003. QID:Q30054278.
• Gary Allen (2015). Sausage: a global history. Edible (بالإنجليزية). London: Reaktion Books. ISBN:978-1-78023-555-4. OCLC:914433214. QID:Q141242427.
• Juliet Harbutt, ed. (2015). World cheese book (بالإنجليزية). London: DK. ISBN:978-0-241-23697-0. OCLC:914747699. QID:Q141242453.
• Josh Chetwynd (2016). Field guide to sports metaphors: a compendium of competitive words and idioms (بالإنجليزية). New York City: Ten Speed Press. ISBN:978-1-60774-812-0. QID:Q141247867.
• Terence Tao (2016). Analysis II. Texts and readings in mathematics (38) (بالإنجليزية) (3rd ed.). Q49755161: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-981-10-1804-6. ISBN:978-981-10-1804-6. MR:3728290. OCLC:957582586. QID:Q141223585.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان (link)
• Tristan Donovan (2017). It's all a game: the history of board games from Monopoly to Settlers of Catan (بالإنجليزية). New York City: Thomas Dunne Books. ISBN:978-1-250-08272-5. OCLC:960239246. QID:Q141248216.
• Brian Hayes (2017). Foolproof and other mathematical meditations (بالإنجليزية). Cambridge: The MIT Press. ISBN:978-0-262-03686-3. OCLC:1062562709. QID:Q141251966.
• Eli Maor (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton Science Library (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-19688-6. OCLC:1099691842. QID:Q141192742.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2020). A cornucopia of quadrilaterals. Dolciani mathematical expositions (55) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. ISBN:978-1-4704-5312-1. LCCN:2019040456. MR:4286138. OCLC:1122714937. QID:Q137186882.
• Simon Mumford, ed. (2021). Complete Flags of the World: The Ultimate Pocket Guide (بالإنجليزية) (7th ed.). New York City: DK. ISBN:978-0-7440-6001-0. OCLC:1472987869. QID:Q141256493.
• Eric Rosenberg (2020). Fractal dimensions of networks (بالإنجليزية). Cham: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-030-43169-3. ISBN:978-3-030-43169-3. OCLC:1141933668. QID:Q141235234.
• David Singmaster (2021). Adventures in recreational mathematics. Problem solving in mathematics and beyond (21) (بالإنجليزية). New Jersey: World Scientific. ISBN:978-981-12-5161-0. OCLC:1274201366. QID:Q141257368.
• Ye Lang; Zhu Liangzhi (2024). Insights into Chinese Culture (بالإنجليزية) (1st ed.). Q49755161: Palgrave Macmillan. DOI:10.1007/978-981-97-4511-1. ISBN:978-981-97-4511-1. OCLC:1493709311. QID:Q141249153.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان (link)
• Jeff Nyamweya (2024). Everything Graphic Design: A Comprehensive Understanding of Visual Communications for Beginners & Creatives (بالإنجليزية). ISBN:978-9914-37-141-3. QID:Q141257123.

أطاريح

بالإنجليزية

• Yongsun Choi (2000), A study on planning and development of tall building: The exploration of planning considerations (بالإنجليزية), Chicago: Illinois Institute of Technology, OCLC:47825936, S2CID:107068764, QID:Q141245319

وصلات خارجية

• مقالة مربع في موسوعة عالم الرياضيات.