تحتاج هذه المقالة إلى مصادر أكثر.

مشتق اتجاهي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين عند نقطة معينة معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.

الترميز[عدل]

لتكن دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة على طول متجه بأي مما يلي:

  • :،
  • ،
  • ،
  • ،
  • ،
  • ،

التعريف[عدل]

خط منسوب للدالة ، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.

المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

على طول متجه :

هو الدالة المُعرفة بالنهاية التالية:[1]

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في ، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

بحيث ترمز إلى التدرج و هو الجداء النقطي[2]، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

خصائص[عدل]

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال و معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في ، فهي تستوفي الخصائص الآتية:[3]

  1. قاعدة الجمع :

2 . قاعدة العامل الثابت :

3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت قابلة للإشتقاق في و في ) :

في الهندسة التفاضلية[عدل]

المشتق العمودي[عدل]

المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما[4]، إذا كان هذا المتجه هو ، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

انظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

  1. ^ Robert Wrede، Advanced Calculus، https://archive.org/details/AdvancedCalculus_201408/ (باللغة الإنجليزية)، Schaum's outlines. {{استشهاد بكتاب}}: روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)
  2. ^ If the dot product is undefined, the gradient is also undefined; however, for differentiable f, the directional derivative is still defined, and a similar relation exists with the exterior derivative.
  3. ^ "Directional Derivatives"، Paul's Online Notes، مؤرشف من الأصل في 1 مايو 2021.
  4. ^ Dr Peyam، "Normal Derivative"، Youtube، مؤرشف من الأصل في 26 مايو 2021.