معادلات التلغراف
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (يناير 2022) |
معادلات التلغراف في التقنية الكهربائية (بالإنجليزية: telegraph equations) هما معادلتان تفاضليتان خطيتان تصف الجهد والتيار الكهربائي في خط نقل واعتمادهما على المسافة في الموصل والزمن . توصل إلى تلك المعادلتين «أوليفر هيفيسايد» في عام 1880 حيث ابتكر نموذجا لخط نقل transmission line model . ويبين هذا النموذج أن موجة كهرومغناطيسية يمكنها الانعكاس في مثل هذا السلك وإمكانية ظهور عدة أشكال للموجة عبر طول الخط . وتنطبق النظرية والحسابات على خطوط النقل الكهربائي بمختلف الترددات ، من التردد العالي مثل خطوط التلغراف وتنطبق أيضا على موصلات تردد الراديو وأسلاك التليفون وخطوط القوى الكهربائية المنخفضة التردد وكذلك على موصلات التيار المستمر.
وحدة خط نقل
[عدل]تصف معادلات التلغراف الجهد والتيار في موصل باستخدام معادلات ماكسويل . ومن وجهة التبسيط العملي يعتبر الموصل مكونا من مجموعة كبيرة من مكونات الكهربائية يوصل بينها سلكين ، يتكون الموصل من عدد كبير من وحدات نقل قصيرة ، مكونة من :
- المقاومة الموزعة وتقاس بالأوم لوحدة الطول ،
- ملفات حث متتابعة (تعمل بالحث المغناطيسي) وتقاس هنري/ وحدة الطول،
- مكثف بين السلكين ، ويقاس فاراد/وحة الطول .
- موصل من مادة عازلة كهربائية تعزل السلكين حيث يحمل أحدهما الإشارة والآخر عودة الإشارة ، ويقاس سيمنز لوحدة الطول. طبقا للنموذج هذا الموصل له مقاومة أوم .
يتكون خط النقل من عدد لا نهاية له من تلك الوحدات المبينة في الشكل وأن قيم الوحدات تعين بالنسبة إلى «وحدة الأطوال» . وتعتبر كل تلك العناصر لا تتغير مع الزمن وكذلك لا يتغير الجهد والتيار . أما بالنسبة إلى التردد فمن الممكن أن يتغير مع الزمن .
وظيفة كل عنصر
[عدل]يمكن وصف وظيفة كل عنصر كهربائي طبقا لما في الشكل :
- ملف الحث L يجعل الإلكترونات كما لو كان لها قصور ذاتي ، فمن الصعب زيادة أو خفض التيار عن أي نقطة . الحاث الكبير تجعل الموجة تتقدم ببطء ، مثلما تتقدم موجة على حبل غليظ فتكون بطيئة عن عبورها لحبل خفيف ، وهي تخفض التيار بمعاوقتها .
- المكثف C يضبط تنافر الإلكترونات وبالتالي يضبط مدى تجاذبهم . وعندما يكون المكثف كبيرا يكون الجاذب والتنافر صغيرين لأن السلك الثاني (الذي يحمل شحنة عكسية) يخفض من قوة التجاذب أو التنافر . (أو بمعنى آخر ] تعمل السعة الكبيرة على خفض الجهد). المكثف الكبير يجعل مرور الموجة بطيئا (يخفض الجهد عند نفس التيار) .
- R هي مقاومة كل خط ، وG تسمح بقفز إلكترونات من سلك إلى سلك . الشكل إلى اليمين يبين خط نقل من دون فاقد ، حيث كل من R وG يساوي 0.
قيم الخصائص الأولية لكابل تليفون
[عدل]القيم الخاصة لنوع 24 جوج تليفون ، معزول بالبولي إيثيلين PIC عند 70° فهرنهايت.
التردد | R | L | G | C |
---|---|---|---|---|
هرتز | Ω/kft | هنري/kft | µS/kft | nF/kft |
1 | 52.50 | 0.1868 | 0.000 | 15.72 |
1k | 52.51 | 0.1867 | 0.022 | 15.72 |
10k | 52.64 | 0.1859 | 0.162 | 15.72 |
100k | 58.41 | 0.1770 | 1.197 | 15.72 |
1M | 141.30 | 0.1543 | 8.873 | 15.72 |
2M | 196.03 | 0.1482 | 16.217 | 15.72 |
5M | 304.62 | 0.1425 | 35.989 | 15.72 |
كما توجد قوائم لأنواع كابلات أخرى تعمل حتى 50 ميجا هرتز.
الوحدات في القائمة: أوم/1000 قدم ، مللي هنري/1000 قدم ومللي سيمنز /1000 قدم ، نانوفاراد/كيلو قدم.
ويعتمد تغير R وL على تأثير جلدي (فيزياء) skin effect وتأثير القرب.
معادلات التلغراف
[عدل]الخصائص العامة
[عدل]إذا افترضنا خط نقل مستقيم يمتد في الاتجاه ، فتكون معادلتي التلغراف له:
وتعتمد الدالات و و و على المسافة على الخط . وفي العادة تكون تلك خصائص ثابتة للخط ولا تتغير بالمسافة عليه ، وهي تسمى«ثوابت الخط البدئية»:
- R' معامل المقاومة ويقاس بالأوم/وحدة الأطوال،
- C' معامل المكثف ويقاس بالسعة / وحدة الأطوال
- L' معامل الحث ويعطي الحث/وحدة الأطوال،
- G' معامل توصيل ويقاس بالاوم/وحدة الأطوال بين السلكين الموصلين للتيار .
استنتاج معادلتي التلغراف
[عدل]يمكن استنتاج معادلتي التلغراف بتطبيق قانوني كيرشوف باعتبار خط النقل متكون من وحدات من تلك العناصر الكهربائية طول الوحدة . وتتكون الوحدة من : سعة مكثف ، ومقاومة ، وحثها الذاتي . ويعبر عن الفاقد بين السلكين بالمقاومة العرضية وهي عازلة بين السلكين .
وبتطبيق قانوني كيرشوف على تلك الوحدة المسلط عليها الجهد على الملف ، والمكثف ، والمقاومة والجهد في نهايتها ، فنحصل مع مراعاة الإشارات على:
وبالتعويض عن و في المعادلة فنجد :
فإذا كانت صغيرة ، نحصل على:
وينتج عن ذلك:
وبالقسمة على نحصل على:
كما تنطبق في نفس الوقت :
وكذلك:
فإذا كانت صغيرة ، أي ، تتبسط المعادلة إلى وبالتالي .
وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على:
وهذه هي المعادلة الأولى من معادلتي التلغراف. وبتطبيق القانون الأول لكيرشوف نحصل على:
وبالتعويض :
وكذلك
- und تعطي بعد قسمتها على المعادلة الثانية من معادلتي التلغراف :
الفاقد خلال النقل
[عدل]عندما يكون العنصران R وG صغيرين فيمكن إهمال تأثيرهما ويعتبر خط النقل مثاليا إذ لا يحدث فيه فاقد . في تلك الحالة فيعتمد النقل على L وC ، ونحصل على معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى ، تصف أحدهما الجهد V عبر خط النقل والأخرى I، وتغيرهما مع طول الخط x والزمن t:
ويمكن تعديل المعادلتين فنحصل على معادلتين للموجة :
وفي حالة الاستقرار باعتبار موجة جيبية (، تتبسط المعادلتين إلى :
حيث هو التردد في حالة الاستقرار.
وإذا كان الخط لا نهائي في الطول أو عند وجود معاوقة في آخره فإن تلك المعادلات تعبر عن وجود موجة تمر في الخط بسرعة .