معادلة بواسون

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

معادلة بواسون (بالإنكليزية: ) معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية دعيت بهذا الاسم تيمنا بالعالم الفيزيائي الفرنسي سيميون بواسون الذي اكتشف تطبيقها في الجاذبية الكونية والكهرباء الساكنة بالمعادلة المعروفة كذلك باسمه معادلة بواسون بولتزمان والتي تضبط العلاقة بين الجهد الكهربائي وتوزيع الشحنة الكهربائية. وعموما فأن لها تطبيقات في نظرية الكمون.

الصياغة الرياضية[عدل]

تصاغ معادلة بواسون رياضيات حسب التالي:

\Delta\varphi=f

حيث :f دالة حقيقية (ليست متجه) و:\varphi هي المطلوب إيجادها وهي بدورها مقدار سلمي فيما تمثل \Delta رمز المؤثر التفاضلي لابلاسيان. وتفكك المعادلة في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد على النحو التالي:


\left(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \right)= f(x,y,z).

وحينما تكون الدالة :f=0. تسمى المعادلة حينئذ معادلة لابلاس.

في الكهرباء الساكنة[عدل]

حسب قانون جاوس (أحد معادلات ماكسويل) فإن:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho    (١)
\mathbf{\nabla} \cdot هو مؤثر التباعد.
\mathbf{D}تمثل الإزاحة الكهربائية.
\rho \, كثافة الشحنات الحرة.

وبما أن:

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}   (٢)
\epsilon_0 سماحية الوسط.
\mathbf{E} المجال الكهربائي.

وبما أنه لكل مجال كهروسكوني (حسب معادلات ماكسويل للمجالات الكهربائية الساكنة):

\nabla \times \mathbf{E} = 0
\nabla \times يمثل مؤثر التكور.


فإنه يمكن كتابة المجال الكهربائي حسب التالي (انظر تفكيك هلمهولتز للمتجهات) :

\mathbf{E} = -\nabla V    (٣)
حيث V تمثل الكمون الكهربائي.
\mathbf{\nabla} هو مؤثر التدرج.



فإنه بتطبيق مؤثر التباعد على المعادلة (٣) ثم التعويض عن الطرف الأيسر فيها بالمعادلة (١) و(٢) ينتج ما يلي.

\nabla \cdot \nabla V = \nabla^2 V =\Delta V = - {\rho \over \epsilon_0}.

وهذه المعادلة هي على هيئة معادلة بواسون.