المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.
يرجى مراجعة هذه المقالة وإزالة وسم المقالات غير المراجعة، ووسمها بوسوم الصيانة المناسبة.

معادلة تفاضلية خطية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
N write.svg
هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر ما عدا الذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. (ديسمبر 2006)
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

حيث و هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث ، و هو تابع مجهول وايجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

عندما تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابته.

مؤثر تفاضلي خطي[عدل]

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: بحيث ان:

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: . المعادلة تسمى "خطية" لان المؤثر هو خطي: .

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه اذا كان و حلول للمعادلة التفاضلية المعطاه، فان هو أيضا حل، وأيضا أيضا حل (بحيث ان هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا اذا كان المعادلة تسمى متجانسة'.

حل المعادلة التفاضلية[عدل]

فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : . بحيث ثوابت اختيارية، "حل عام للمعادلة المتجانسة".

اذا يكفي ان نبحث عن الحلول لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة . أي أن,اذا اذا ينتج . ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

اذا اذا كان حل عام للمعادلة الغير متجانسة, و هو حل خاص لها, اذا , مثلما اوضحنا,هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :

حل خاص للغير متجانسة

حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة[عدل]

هذه المعادلة هي من الشكل

وتحل باستخدام الوسيط

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل لها عدد n من الحلول

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل

حيث قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة[عدل]

تمثيلات أخرى[عدل]

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة بالرمز أي

وتصبح المعادلة كالتالي

أو