معادلة xʸ=yˣ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

عموما، المعادلات الأسية عمليات غير تبادلية. ولكن تعتبر معادلة xʸ=yˣ حالة خاصة، عندما تكون .[1]

التاريخ[عدل]

تم ذكر معادلة لأول مرة في رسالة دانييل برنولي إلى كريستيان غولدباخ يوم 29 يونيو 1728[2].ذكر فيها أن إلا في حالة و ، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية[3][4] .
جاء الرد من كريستيان غولدباخ في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة[5]:

وهي صيغة مشابهه لما ذكره ليونهارت أويلر.

أشار فان هينجيل (J. van Hengel) أنه إذا كان أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون أو . يكون

وهذا كافي لإعتبار و في محاولة لإيجاد حل المعادلة[6].

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية[7][8].

حلول حقيقة موجبة[عدل]

يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

ولكن لحل معادلة ، يجب إعتبار أن . وأن .

وبذلك يكون

.

بأخذ أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على

.

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

,
.

بأخذ أو ، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو:

.

انظر أيضا[عدل]

المصادر[عدل]