المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

معضلة بازل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

معضلة بازل (بالإنجليزية: Basel problem) هي معضلة مشهورة في التحليل الرياضي، لها علاقة بنظرية الأعداد. وضعها لأول مرة بييترو منغولي عام 1644 وحلحلها ليونهارد أويلر عام 1735، وقُرأت في الخامس من دسمبر من نفس العام في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. أعطى هذا الإنجاز شهرة كبيرة لأويلر ولم يكن عمره يتجاوز الثمانية والعشرين عاما. عمل برنارد ريمان فيما بعد على أفكار أويلر في مقاله حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، المنشور في عام 1859. في هذا المقال، عرف ريمان دالته المعروفة باسم دالة زيتا وبين خصائصها.

سميت هذه المعضلة هكذا نسبة إلى المدينة السويسرية بازل حيث ولد أويلر وحيث عاشت أيضا عائلة برونولي التي حاول أعضاؤها أيضا حلحلة هذه المعضلة و لكن محاولاتها باءت بالفشل.

معضلة بازل تطرح السؤال عما يساوي مجموع مقلوبات مربعات الأعداد الطبيعية. وبتعبير آخر، ماذا تساوي المتسلسة غير المنتهية التالية ؟

كيف تطرق أويلر إلى المعضلة[عدل]

لتتبع المنطق الذي استخدمه أويلر، فلنطبق تمديد متسلسلة تايلور على دالة الجيب:

بقسمة حدّي المعادلة أعلاه على x، يُحصل على ما يلي:

من جانب آخر، جذور الدالة (أو أصفارها، أي حين تصير الدالة مساوية للصفر) sin(x)/x، تقع بالتحديد عندما يكون x مضاعفا ل π (أي حيث )

بنشر الجداء أعلاه وبالنظر بشكل حصري إلى المعاملات اللائي يذهبن مع مربع x، نجد أن هذا المعامل هو:

ولكنه من خلال المعادلة الأولى التي حُصل عليها باستعمال تمديد متسلسلة تايلور، ومن خلال النظر إلى المعامل المصاحب لمربع x، نجد أن هذا المعامل هو (!3)/1− = 1/6−. وبالتالي فإن:

بضرب المعادلة أعلاه ب ، نجد النتيجة النهائية كما يلي:

دالة زيتا لريمان[عدل]

دالة زيتا لريمان ζ(s) هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات نظرا لعلاقتها بتوزيع الأعداد الأولية.

يمكن البرهان على تقارب هذه المتسلسلة من خلال ما يلي

برهان دقيق باستعمال متسلسلات فورييه[عدل]

انظر إلى متطابقة بارسيفال

برهان ابتدائي دقيق[عدل]

تاريخ هذا البرهان[عدل]

البرهان[عدل]

برهان كوشي[عدل]

يرجع هذا البرهان إلى أوغستين لوي كوشي.

تاريخه[عدل]

البرهان[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]