معكوس الاقتضاء

معكوس الاقتضاء (أو العكس المنطقي) (بالإنجليزية: Converse) في المنطق والرياضيات، هو ناتج تبديل المكونين الرئيسين لعبارة شرطية أو فئة منطقية. ففي حالة الاستلزام المنطقي الذي يتخذ الصيغة «إذا كان $P$ فإن $Q$ » (وتُكتب رياضيًا: $P\to Q$ )، يكون المعكوس هو «إذا كان $Q$ فإن $P$ » (وتُكتب رياضيًا: $Q\to P$ ).

أما في القضايا الحملية (مثل: كل S هو P)، فإن المعكوس يصبح (كل P هو S). وبشكل عام، تظل قيمة الحقيقة للمكعوس مستقلةً تمامًا عن قيمة حقيقة العبارة الأصلية؛ إذ لا يترتب على صدق الاستلزام المنطقي صدقُ معكوسه بالضرورة، وهي مغالطة صورية شهيرة تُعرف باسم «إثبات التالي».

التعريف

يُمكن الحصول على معكوس الاقتضاء من خلال عكس اتجاه الاستلزام المنطقي. فإذا كان الاستلزام يربط بين مقدم (P) وتالٍ (Q)، فإن المعكوس يضع (Q) كمقدم و(P) كتالٍ.

جدول الحقيقة

$P\leftarrow Q$ (معكوس)	$P\rightarrow Q$	$Q$	$P$
T	T	F	F
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

التكافؤات المنطقية

يُكافئ معكوس الاقتضاء منطقيًا عبارة الفصل بين «P» و«نفي Q»؛ أي: $(Q\to P)\equiv (P\lor \neg Q)$

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

كما أن معكوس الاقتضاء لعبارة شرطية هو نفسه «العكس النقيض» لـ «نفي» تلك العبارة. فالمعكوس والمقايض (Inverse) متكافئان منطقيًا دائمًا، تمامًا كما أن الاستلزام الأصلي وعكسه النقيض متكافئان دائمًا.

في الرياضيات

في الرياضيات، ليس بالضرورة أن يكون معكوس أي نظرية صحيحًا، وحتى إن كان صحيحًا، فقد يكون إثباته أصعب بكثير من إثبات النظرية الأصلية.

مثال من الهندسة:

النظرية (فيثاغورس): «إذا كانت الزاوية في المثلث قائمة، فإن $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ».
المعكوس: «إذا كان $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ، فإن الزاوية المقابلة للضلع $c$ تكون قائمة».

في هذه الحالة، يُعتبر المعكوس صحيحًا (وهي القضية رقم 48 في كتاب «الأصول» لـ إقليدس).

المعكوس الفئوي

في المنطق التقليدي، تُسمى عملية تبديل الموضوع والمحمول بالتحويل أو العكس.

النوع	الجملة الأصلية	المعكوس	الحالة
A	كل S هو P	كل P هو S	غير صحيح دائمًا
E	لا S هو P	لا P هو S	صحيح دائمًا
I	بعض S هو P	بعض P هو S	صحيح دائمًا

مثال: عبارة «كل القطط ثدييات» صحيحة، لكن معكوسها «كل الثدييات قطط» كاذبة بوضوح.

التمييز اللغوي والغموض

يفرق المناطقة (مثلما ورد في «قاموس كامبريدج للفلسفة») بين نوعين من العكس في الجمل التي تحتوي على علاقات:

المعكوس الخارجي (Outer Converse): ناتج تبديل أطراف العلاقة؛ مثل تحويل «أ يحب ب» إلى «ب يحب أ».
المعكوس الداخلي (Inner Converse): ناتج تغيير صياغة العلاقة نفسها؛ مثل تحويل «أ يحب ب» إلى «ب يُحَب من قِبَل أ».

في الجمل البسيطة، يتكافئ النوعان منطقيًا. ومع ذلك، يظهر غموض معلوماتي في الجمل المعقدة التي تحتوي على محددات كمية (مثل: كل، وبعض). فعلى سبيل المثال، في جملة «كل عدد يسبق عددًا ما»، يختلف المعكوس الخارجي («بعض الأعداد تسبق كل الأعداد» - وهي قضية كاذبة) عن المعكوس الداخلي («كل عدد يسبقه عدد ما» - وهي قضية صادقة). ويُفسر منطق الرتبة الأولى هذا الغموض من خلال مفهوم «النطاق» (Scope).^[1]

انظر أيضًا

المراجع

↑ أودي, روبرت (2015). The Cambridge Dictionary of Philosophy (بالإنجليزية) (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 214. ISBN:978-1-107-01505-0. converse, outer and inner, respectively, the result of "converting" the two "terms" or the rela- tion verb of a relational sentence. The outer con- verse of 'Abe helps Ben' is 'Ben helps Abe' and the inner converse is 'Abe is helped by Ben'. In simple, or atomic, sentences the outer and inner converses express logically equivalent proposi- tions, and thus in these cases no informational ambiguity arises from the adjunction of 'and con- versely' or 'but not conversely', despite the fact that such adjunction does not indicate which, if either, of the two converses intended is meant. However, in complex, or quantified, relational sentences such as 'Every integer precedes some integer' genuine informational ambiguity is pro- duced. Under normal interpretations of the respective sentences, the outer converse expresses the false proposition that some integer precedes every integer, the inner converse expresses the true proposition that every integer is preceded by some integer. More complicated considerations apply in cases of quantified doubly relational sentences such as 'Every integer pre- cedes every integer exceeding it'. The concept of scope explains such structural ambiguity: in the sentence 'Every integer precedes some integer and conversely', 'conversely' taken in the outer sense has wide scope, whereas taken in the inner sense it has narrow scope.

[1] أودي, روبرت (2015). The Cambridge Dictionary of Philosophy (بالإنجليزية) (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 214. ISBN:978-1-107-01505-0. converse, outer and inner, respectively, the result of "converting" the two "terms" or the rela- tion verb of a relational sentence. The outer con- verse of 'Abe helps Ben' is 'Ben helps Abe' and the inner converse is 'Abe is helped by Ben'. In simple, or atomic, sentences the outer and inner converses express logically equivalent proposi- tions, and thus in these cases no informational ambiguity arises from the adjunction of 'and con- versely' or 'but not conversely', despite the fact that such adjunction does not indicate which, if either, of the two converses intended is meant. However, in complex, or quantified, relational sentences such as 'Every integer precedes some integer' genuine informational ambiguity is pro- duced. Under normal interpretations of the respective sentences, the outer converse expresses the false proposition that some integer precedes every integer, the inner converse expresses the true proposition that every integer is preceded by some integer. More complicated considerations apply in cases of quantified doubly relational sentences such as 'Every integer pre- cedes every integer exceeding it'. The concept of scope explains such structural ambiguity: in the sentence 'Every integer precedes some integer and conversely', 'conversely' taken in the outer sense has wide scope, whereas taken in the inner sense it has narrow scope.

[1]

ع ن ت روابط منطقية شهيرة
تحصيل حاصل/صواب $\top$
عطف منفي ^{[لغات أخرى]}‏ بوابة عطف منفي $\uparrow$ معكوس الاقتضاء $\leftarrow$ الاقتضاء المنطقي بوابة اقتضاء ^{[لغات أخرى]}‏ $\rightarrow$ الفصل المنطقي (بوابة فصل) $\lor$
النفي (بوابة النفي $\neg$ فصل إقصائي (بوابة فصل إقصائي) $\not \leftrightarrow$ شرطاني منطقي بوابة فصل إقصائي منفي $\leftrightarrow$ عبارة منطقية صوان رقمي ^{[الإنجليزية]}
فصل منطقي منفي بوابة فصل منطقي منفي $\downarrow$ اقتضاء منفي ^{[لغات أخرى]}‏ بوابة اقتضاء منفي ^{[لغات أخرى]}‏ $\nrightarrow$ معكوس اقتضاء منفي ^{[لغات أخرى]}‏ $\nleftarrow$ العطف المنطقي بوابة عطف $\land$
التناقض/باطل $\bot$
بوابة فلسفة