المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.
هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

قائمة النهايات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من ملحق:قائمة النهايات)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة.مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.

نهاية الدوال بوجه عام[عدل]

\text{If}\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \text{ and }\lim_{x \to c} g(x) = L_2 \text{ then:}
\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2
\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0
\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer}
\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n} \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer, and if } n \text{ is even, then } L_1 > 0
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{ if } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ or } \lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty (قاعدة لوبتال)
\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)
\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)
\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)

نهاية بعض الدوال الخاصة[عدل]

\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e
\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e
 \lim\limits_{n \to \infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots\sqrt{2}}}}}_{n-1}=\pi

نهايات بعض الدوال الأولية[عدل]

\lim_{x \to c} a = a
\lim_{x \to c} x = c
\lim_{x \to c} ax + b = ac + b
\lim_{x \to c} x^r = c^r \qquad \mbox{ if } r \mbox{ is a positive integer}
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = \begin{cases} -\infty, & \text{if } r \text{ is odd} \\ +\infty, & \text{if } r \text{ is even}\end{cases}

نهايات الدوال الأسية والدوال اللوغارتمية[عدل]

\mbox{For } a > 1: \,
\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty
\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty
\lim_{x \to -\infty} a^x = 0
\lim_{x \to \infty} a^x = \infty

نهايات الدوال المثلثية[عدل]

\lim_{x \to a} \sin x = \sin a
\lim_{x \to a} \cos x = \cos a
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad \text{for any integer } n

النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية[عدل]

\lim_{x\to\infty}N/x=0 \text{ for any real }N
\lim_{x\to\infty}x/N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \text{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N < 0 \end{cases}
\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N < 0 \end{cases}
\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & -1 < N < 1 \end{cases}
\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \text{ for any } N > 1
\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \text{does not exist}, & N < 0 \end{cases}
\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}= \infty \text{ for any } N > 0
\lim_{x\to\infty}\log x=\infty
\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty

انظر[عدل]

قائمة التكاملات