المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

هذه قائمة بتكاملات الدوال المثلثية العكسية.

الدوال التي تحتوي معكوس الجا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الجا (جا−١) = arcsin

\int \arcsin x \,dx = x\arcsin x+ \sqrt{1-x^2} + C
\int \arcsin \frac{x}{a} \  dx = x \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x \arcsin \frac{x}{a} \  dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^2 \arcsin \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^n \arcsin x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left(x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \  dx \right)
\int \cos^n x \arcsin x \  dx = \left(x^{n^2 + 1} \arccos x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^4} - n x^{n^2 - 1} \arccos x}{n^2 - 1} + n \int x^{n^2 - 2} \arccos x \  dx \right)

الدوال التي تحتوي معكوس الجتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الجتا (جتا−١) = arccos

\int \arccos x \,dx = x\arccos x- \sqrt{1-x^2} + C
\int \arccos \frac{x}{a} \  dx = x \arccos \frac{x}{a} - \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x \arccos \frac{x}{a} \  dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{a} - \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^2 \arccos \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{a} - \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C

الدوال التي تحتوي معكوس الظا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الظا (ظا−١) = arctan

\int \arctan x \,dx = x\arctan x- \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
\int \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = x \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - \frac{a}{2} \ln(1 + \frac{x^2}{a^2})  + C
\int x \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = \frac{ (a^2 + x^2) \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - a x}{2}  + C
\int x^2 \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = \frac{x^3}{3} \arctan \big(\frac{x}{a}\big) - \frac{a x^2}{6} + \frac{a^3}{6} \ln({a^2 + x^2}) + C
\int x^n \arctan \big(\frac{x}{a}\big)  dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq -1

الدوال التي تحتوي معكوس ظتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الظتا (ظتا−١) = arccsc

\int \arccsc x \,dx = x\arccsc x+ \ln\left| x+x\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right| + C
\int \arccsc \frac{x}{a} \  dx = x \arccsc \frac{x}{a} + {a} \ln{(\frac{x}{a}(\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} + 1))} + C
\int x \arccsc \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^2}{2} \arccsc \frac{x}{a} + \frac{ax}{2} \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} + C

الدوال التي تحتوي معكوس قا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس القا (قا−١) = arcsec

\int \arcsec x \,dx = x\arcsec x- \ln\left| x+x\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right| + C
\int \arcsec \frac{x}{a} \  dx = x \arcsec \frac{x}{a} + \frac{x}{a |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right| + C
\int x \arcsec x \  dx = \frac{1}{2} \left(x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right) + C
\int x^n \arcsec x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left(x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + [1 - n] \left(x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \  dx \right) \right] \right)

الدوال التي تحتوي معكوس قتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس القتا (قتا−١) = arccot

\int \arccot x \,dx = x\arccot x+ \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C
\int \arccot \frac{x}{a} \  dx = x \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{a^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a x}{2} + C
\int x^2 \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a x^2}{6} - \frac{a^3}{6} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x^n \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq -1