هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها
يرجى إعادة صياغة هذه المقالة باستخدام التنسيق العام لويكيبيديا

موتر القصور الذاتي للمثلث

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Arwikify.svg يرجى إعادة صياغة هذه المقالة باستخدام التنسيق العام لويكيبيديا، مثل إضافة الوصلات والتقسيم إلى الفقرات وأقسام بعناوين. (ديسمبر 2013)

إن موتر القصور الذاتي 
\mathbf{J} لأي مثلث (مثل موتر القصور الذاتي لأي جسم) يمكن التعبير عنه من حيث تغاير 
\mathbf{C} الجسم:


\mathbf{J} = \mathrm{tr}(\mathbf{C})\mathbf{I} - \mathbf{C}

في حين يُعرّف التغاير بأنه هو المنطقة التكاملية التي تعلو المثلث:


\mathbf{C} \triangleq \int_{\Delta} \rho \mathbf{x}\mathbf{x}^{\mathrm{T}} \, dA

إن تغاير أي مثلث في حيز ثلاثي الأبعاد، بافتراض أن الكتلة موزعة بالتساوي على السطح مع كثافة الوحدة، هو


\mathbf{C} = a \mathbf{V}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{V}

حيث

  • \mathbf{V} تمثل مصفوفة 3 × 3 تحتوي على إحداثيات قمة المثلث (\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) في الصفوف،
  • a = |(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_0) \times (\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_0)| هي ضعف مساحة المثلث،
  • 
\mathbf{S}= \frac{1}{24}
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

وفي النهاية، يعطي استبدال تغاير المثلث في تعريف موتر القصور الذاتي النتيجة


\mathbf{J} = \frac{a}{24}(\mathbf{v}^2_0 + \mathbf{v}^2_1 + \mathbf{v}^2_2 + (\mathbf{v}_0 + \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2)^2)\mathbf{I} - a \mathbf{V}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{V}

البرهان على الصيغة[عدل]

يتبع البرهان الوارد هنا الخطوات الواردة في المقال.[1]

التغاير في المثلث القياسي[عدل]

دعونا نحسب التغاير في المثلث قائم الزاوية مع قمم الرأس (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

باتباع تعريف التغاير الذي حصلنا عليه


\mathbf{C}^0_{xx} = \int_{\Delta} x^2 \, dA = \int_{x=0}^1 x^2 \int_{y=0}^{1-x} \, dy \, dx = \int_0^1 x^2 (1-x) \, dx = \frac{1}{12}

\mathbf{C}^0_{xy} = \int_{\Delta} xy \, dA = \int_{x=0}^1 x \int_{y=0}^{1-x} y \, dy \, dx = \int_0^1 x \frac{(1-x)^2}{2} \, dx = \frac{1}{24}

\mathbf{C}^0_{yy} = \mathbf{C}^0_{xx}

حيث تكون باقي عناصر C صفرًا لأن المثلث هو في z=0

ونتيجة لذلك


\mathbf{C}^0 = 
\frac{1}{24}
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{48}
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
+
\frac{1}{16}
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}

تغاير المثلث الذي تكون قمته في المصدر[عدل]

مع مراعاة المشغل الخطي

\mathbf{x}' = \mathbf{A}\mathbf{x}^0

الذي يرسم المثلث القياسي في المثلث \mathbf{v}'_0 = \mathbf{0}, \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_0, \mathbf{v}'_2 = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_0. يحتوي أول عمودين من \mathbf{A} على \mathbf{v}'_1 و \mathbf{v}'_2 على التوالي، بينما يكون العمود الثالث عشوائيًا. ويتساوى مثلث الهدف مع المثلث في المسألة (وعلى وجه الخصوص تكون مساحتهما متساوية) ولكن يتناوبان على قمة الرأس الصفرية في المصدر.


\mathbf{C}' = \int_{\Delta'} \mathbf{x}'\mathbf{x}'^{\mathrm{T}} \, dA'
= \int_{\Delta^0} \mathbf{A}\mathbf{x}^0\mathbf{x}^{0\mathrm{T}}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} a\, dA^0
= a \mathbf{A} \mathbf{C}^0 \mathbf{A}^{\mathrm{T}}

\mathbf{C}' = 
\frac{a}{48}(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2)(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2)^{\mathrm{T}}
+\frac{a}{16}(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_0)(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_0)^{\mathrm{T}}

التغاير في المثلث في المسألة[عدل]

يتبقى آخر شيء ينبغي القيام به وهو فهم كيف يتبدل التغاير مع ترجمة جميع النقاط على الكمية الموجهة \mathbf{v}_0.


\mathbf{C} = \int_{\Delta} (\mathbf{x'}+\mathbf{v}_0)(\mathbf{x'}+\mathbf{v}_0)^{\mathrm{T}} \, dA = \mathbf{C}' + \frac{a}{2}(\mathbf{v}_0\mathbf{v}_0^{\mathrm{T}} + \mathbf{v}_0\overline{\mathbf{x}}'^{\mathrm{T}} +\overline{\mathbf{x}}'\mathbf{v}_0^{\mathrm{T}})

حيث

\overline\mathbf{x}'=\int_{\Delta'} \mathbf{x}' \, dA' = \frac{1}{3}(\mathbf{v}'_1 + \mathbf{v}'_2)
= \frac{1}{3}(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_0)

هي المركز الوسطي للمثلث المتقطع

فمن السهل الآن التحقق من أن جميع المعاملات في \mathbf{C} قبل \mathbf{v}_i\mathbf{v}_i^{\mathrm{T}} هي \frac{a}{12} وبعد \mathbf{v}_i\mathbf{v}_j^{\mathrm{T}}\;(i \ne j) هي \frac{a}{24}. ويمكن التعبير عن ذلك في شكل مصفوفة مع \mathbf{S} على النحو الوارد أعلاه.

المراجع[عدل]

  1. ^ http://number-none.com/blow/inertia/bb_inertia.doc Jonathan Blow, Atman J Binstock (2004) "How to find the inertia tensor (or other mass properties) of a 3D solid body represented by a triangle mesh"