نظرية الزمر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات والجبر التجريدي، نظرية الزُمَر (بالإنجليزية: Group Theory) هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الزمر وخواصها.

التاريخ[عدل]

لنظرية الزمر ثلاثة جذور تاريخية هي: نظرية الأعداد ونظرية المعادلات الجبرية والهندسة الرياضية. ابتُدأ الفرع الآتي من نظرية الأعداد من طرف ليونهارد أويلر وطوره غاوس في عمله حول الحسابيات النمطية والزمر المجموعية والجداءية المتعلقة بالحقول التربيعية. النتائج الأولى حول زمر التبديلات حصل عليها كل من جوزيف لوي لاغرانج وباولو روفيني ونيلس هنريك أبيل، خلال محاولتهم حلحلة المعادلات الحدودية من درجات عالية.

الأصناف الأساسية للزمر[عدل]

انظر إلى زمرة تبديلات وإلى زمرة مصفوفات وإلى تمثيل الزمر.

زمر التبديلات[عدل]

فروع نظرية الزمر[عدل]

نظرية الزمر المنتهية[عدل]

انظر إلى تصنيف الزمر المنتهية البسيطة.

تمثيل الزمر[عدل]

تطبيقات نظرية الزمر[عدل]

تطبيقات نظرية الزمر كثيرة، فأغلب البُنى التي يتطرق إليها الجبر التجريدي هي حالات خاصة من الزمر. الحلقات على سبيل المثال، يمكن أن ينظر إليها على أنها زمر أبيلية (بقانون الجمع), إضافة إلى عملية ثانية تتمثل في الضرب أو الجداء.

A torus. Its abelian group structure is induced from the map CC/Z+τZ, where τ is a parameter.
The circle of fifths may be endowed with a cyclic group structure

نظرية الزمر الأولية[عدل]

يمكن تعريف زمرة (G,*) :

G is a مجموعة و* عملية ثنائية تجميعية على G, تخضع للقواعد التالية (أو ما يدعى بدهيات):

1. (G,*) تملك انغلاقا. That is, إذا كان a وb ينتميان ل G, عندئذ يكون a*b من ضمن G أيضا
2. العملية * تجميعية, أي انه :، إذا كان a, b, وc عناصر من G, عندئذ يكون (a*b)*c=a*(b*c).
3. G تحوي عنصر حيادي, يرمز له غالبا ب e, أي أنه من اجل جميع قيم a من ضمن Gفإن :

e*a=a*e=a.

4. كل عنصر من الزمرة (G,*) له عنصر معاكس; إذا كانت a من G, عندئذ يوجد عنصر b ضمن بحيث يحقق :

a*b=b*a=e.

البدهيات 1 و 2 تنتجان بشكل تلقائي من تعريف العملية الثنائية التجميعية لذلك يمكن إهمالها عادة.

ويتحقق مبدأ الحذف للزمرة (G,*) من جهة اليمين واليسار أي : a*b=a*c b=c هذا من جهة اليسار b*a=c*a b=c هذا من جهة اليمين

وكذلك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى إذا كان كل من a,b تنتمي إلى G a*x=b y*a=b لها حل وحيد في G

ويمكن القول عن الزمرة G أنها إبدالية إذا كانت العملية الثنائية المعرفة عليها * إبدالية . عند إذ يطلق على الزمرة زمرة أبلين : نسبة للعالم الذي اكتشفها .

في الزمرة G يوجد عنصر محايد وحيد e وكذلك معكوس وحيد a' اللذان يحققان العلاقات التالية : e*x=x*e=x a*a'=a'*a=e

مجموع مباشر للزمر[عدل]

في نظرية الزمر ، نقول عن الزمرة G انها مجموع مباشر لمجموعة من الزمر الجزئية {Hi} :

إذا تحقق :

  • كل Hi هي زمرة جزئية طبيعية من G.
  • كل زوج من الزمر الجزئية لهما تقاطع ضئيل .
  • G = <{Hi}>; أي أن G تتشكل عن طريق جمع كافة الزمر الجزئية .

انظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

مصادر[عدل]