نظرية الفردية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات[عدل]

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

حيث

هو الجهد الكهربائي .

هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما و , و هو الفرق بين قيمة الحلين .

وبما أن و تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها .

وباستخدام التعريف

وعند الأخذ في الإعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

حيث

هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

و

إذا

يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان , وتكون .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

بشرط أن يكون :

  1. معرفة على كل حدود السطح , وتكون , وبالتالي تصبح .
  2. معرفة على كل حدود السطح , وتكون , وبالتالي تصبح .
  3. أن تحقق قانون جاوس

أنظر ايضا[عدل]

المصادر[عدل]

  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. Butterworth–Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
  • J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.