نموذج ديباي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

نموذج ديباي في الفيزياء و الكيمياء و الديناميكا الحرارية(بالإنجليزية: Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي بيتر ديباي عام 1912 لحساب جزء الحرارة النوعية الناشئة عن الفوتونات للمواد الصلبة.[1] والنموذج مبني على فكرة حساب اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها كفونونات في صندوق . هذا بعكس نموذج أينشتاين الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى. وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على درجة الحرارة عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T3 – وتسمى هذه العلاقة "بقانون T3 لديباي " Debye T3 law.

يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع نموذج أينشتاين و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

اشتقاقه[عدل]

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

حيث:

حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،
هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة و الكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد بحيث يكون عدد الحالات الكلي :

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناء على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

حيث هي .

حيث هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T3 عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.

نتائج النموذج[عدل]

درجة ديباي لبعض المواد الصلبة
كلفن
الرصاص 95
الصوديوم 160
الذهب 165
الفضة 215
النحاس 345
ألمونيوم 428
α-الحديد 464
الكروم 610
الماس 1850

درجات الحرارة[عدل]

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون

( وتسمى درجة ديباي )

  • يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى الفونونات (الاهتزازات) بالعلاقة :

حيث:

درجة ديباي ، ويدخل فيها ثابتين :

ثابت بلانك المخفض
و ثابت بولتزمان
و وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

وتتناسب درجة ديباي (درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة:

  • عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون ,

تنطبق معادلة الطاقة الداخلية التالية :

بالتالي ينطبق على السعة الحرارية :

وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع قانون دولون-بتي ، وكذلك مع نموذج أينشتاين.

  • في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد

لتقريب ديباي الذي ينطبق على ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات :

انظر أيضا[عدل]


المراجع[عدل]

  1. ^ 'Zur Theorie der spezifischen Waerme', Annalen der Physik (Leipzig) 39(4), p. 789 (1912)