مثلث باسكال

الصفوف الستة الأولى من مثلث باسكال

في الرياضيات مثلث باسكال (بالإنجليزية: Pascal's triangle)‏ أو مثلث الخيام (نسبة إلى عمر الخيام) هو منظومة هندسية لمكافئ ثنائي في المثلث. سميت على اسم بليز باسكال على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في الهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا. يتم ترقيم الصفوف في مثلث باسكال بدءًا من الصفر، وغالبًا ما تتوسط الأعداد في الصفوف ذات الأرقام الأعداد الموجودة في الصفوف الزوجية في المكان. يتم إنشاء المثلث ببساطة على النحو التالي:

1. في الصف ذو الرقم صفر، اكتب فقط الرقم $1$
2. من أجل إنشاء عناصر الصف الثاني، اجمع العدد الموجود في أعلى ويمين العدد إلى العدد الموجود في أعلى ويسار العدد فينتج قيمة العنصر الجديد
3. إذا لم يوجد عنصر في أعلى ويمين (أو أعلى ويسار العدد) اجمع صفر إلى العدد الآخر.مع الانتباه للإشارة

كل عدد في مثلث باسكال هو مجموع العددين اللذان فوقه.

الصيغة

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}$

بيان لمثلث باسكال محتويا على السطور من 0 إلى 7.

مدخل مثلث باسكال الموجود في الصف n وفي العمود k يساوي ${\tbinom {n}{k}}$.

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$,

انظر إلى قاعدة باسكال.

لمثلث باسكال تعميمات في أبعاد تزيد عن الثلاثة على سبيل المثال، مثلث باسكال في البعد الثلاثي يُسمى هرم باسكال أو رباعي الأوجه لباسكال.

التاريخ

يانغ هوي مثلث باسكال، كما وصفه الصينيون باستعمال الحساب بالأعمدة.

صيغة المثلث كما رسمه بليز باسكال

مجموعة الأعداد اللواتي تكون مثلث باسكال كانت معروفة قبل باسكال. قد يعود هذا المثلث إلى العالم عمر الخيام.

مميزات مثلث باسكال

• الأعداد التي توجد على حافة المثلث هي كلها منتهية بالعدد $1$.
• العدد الذي بجانب الحافة في السطر $n$ (الترقيم يبدأ من $0$) هو $n$.
• مجموع الأعداد في السطر رقم $n$ (الترقيم يبدأ من $0$) هو $2^{n}$.
• مجموع الأعداد في الأماكن الزوجية في السطر مساو لمجموع الأعداد في الأماكن الفردية في نفس السطر.
• يمكن من خلال مثلث باسكال نشر الحدانية من عدة الرتبات $(a+b)^{n}$.

برمجة مثلث باسكال

يمكن برمجة دالة مثلث باسكال بسهولة

def pascal_triangle(rows) :
    arr = [1]
    while True:
        if len(arr) is rows+1:
            break
        new_arr = [1]
        for count in range(0, len(arr) - 1):
            new_arr.append(arr[count] + arr[count+1])
        new_arr.append(1)
        arr = new_arr
    return arr
for n in range(0, 6):
    print(pascal_triangle(n))

            #       <- Output ->  
            #           [1]
            #           [1, 1]
            #           [1, 2, 1]
            #           [1, 3, 3, 1]
            #           [1, 4, 6, 4, 1]
            #           [1, 5, 10, 10, 5, 1]

تعميمات

يمكن أن يعمم مثلث باسكال إلى أعداد سالبة للصفوف.

انظر أيضا

• ابن منعم العبدري.
• ثنائي حد الكرخي-نيوتن،
• حدسية سينغماستر،
• لوحة غالتون لوحة أبدعها عالم الرياضيات فرانسيس غالتون.
• مبرهنة نجمة داود،
• مثلث لايبنز المتناسق.
• مثلث بيل
• مصفوفة باسكال
• عدد أويلري نسبة إلى أويلر.
• هرم باسكال