البرهان على أن باي عدد غير كسري
درس العدد π منذ العصور القديمة، كما هو الحال أيضا بالنسبة إلى مفهوم الأعداد غير الجذرية.[1] عدد لا جذري هو كل عدد لا يمكن كتابته على شكل كسر a/b حيث a عدد صحيح وحيث b عدد صحيح لا يساوي الصفر.
في القرن الثامن عشر، برهن يوهان هاينغيش لامبرت على كون π عددا غير جذري.
برهان لامبرت
في عام 1761، أثبت يوهان هاينغيش لامبرت أن π عدد غير جذري؛ وذلك من خلال البرهان أولا على أن الكسر المستمر أسفله يساوي ظل x:
ثم البرهان على أنه إذا كان x عددا جذريا، فإن دالة الظل تكون غير جذرية.
وبما أن tan(π/4)=1 عدد جذري، هذا يعني أن π/4، وبالأخص π، عدد غير جذري.
من أجل هذا البرهان، قد تستعمل متسلسلة تايلور على دالتي الجيب والجيب التمام.
برهان هيرمت
برهان كارتورايت
برهان نيفن
افترض نيفن أن π عادد جذري، مما مكنه من كتابة π=a/b حيث a و b عددان صحيحان. بدون فقدان للتعميم، افترض أن هذين العددين موجبان.
for each x ∈ ℝ let
برهان لازكوفيتش
انظر أيضا
مراجع
- ^ "معلومات عن البرهان على أن باي عدد غير كسري على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 2020-10-30.