تكامل معتل

النوع الأول من التكامل المعتل، حالة الفترة غير المحدودة.

النوع الثاني من التكامل المعتل، حالة الدالة غير المحدودة.

الصيغة الأساسية بأن يكون على أحد الشكلين التاليين:

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,$

أو

$\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,$

التكامل المعتل حالة الفترة غير المحدودة

إذا كان لدينا تكامل الدالة $1/{x^{2}}$ على الفترة [1, ∞) وهي فتره غير محدوده، فهذا يكون تكامل معتل، ونستخدم الطريقة التالية لحله

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.$

نستخدم Lim أو نهاية b إلى مالا نهايه، ونحول فترة التكامل من 1 إلى b ونكامل بالطريقة العادية وفي حال كانت الإجابة رقم ثابت فهو تكامل تقاربي، أما إن كانت الإجابة موجب أو سالب مالا نهايه فالتكامل تباعدي.

حالة فترة غير المحدودة (-∞,∞)

لدينا تكامل معتل على الفترة (-∞,∞)

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

نقوم بتجزيئة إلى فترتين (-∞,0) و(0,∞) لينتج لدينا تكاملين منفصلين لنفس الدالة

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$

ثم نستخدم طريقة حل التكامل المعتل لكل فترة على حده

$\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}f(x)\,\mathrm {d} x+\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ =

التكامل المعتل حالة الدالة غير المحدودة

باعتبار c هو عدد ثابت تكون الدالة غير معرفه عنده

$\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,$

يكون حل التكامل على الشكل

$\lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,$

مثال

لدينا 0 هنا هو c في الشرح السابق حيث تكون الدالة غير معرفه عنده 0

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{a\to 0^{+}}(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}})=2.$

ونلاحظ علامة + فوق الصفر، لأن التكامل غير معرف عند أو تحت الصفر ولكنه معرف عند اي رقم آخر أكبر من 0

مصادر

راجع كتاب مبادئ التفاضل والتكامل الجزء الثاني، د.صالح السنوسي وآخرون، جامعة الملك سعود بالرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع