قاطع (حساب المثلثات)

  لمعانٍ أخرى، طالع قاطع (توضيح).

القاطع
تمثيل دالة القاطع في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين	${\sec(x)}$
تعريف الدالة	$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$
دالة عكسية	${\operatorname {arcsec}(x)}$
مشتق الدالة	$${\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x$$
مشتق عكسي (تكامل)	${\begin{aligned}{\ln |\sec(x)+\tan(x)|}\\=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\end{aligned}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	$\mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}$
المجال المقابل	$]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
القيمة/النهاية عند $x={\frac {\pi }{2}}+2k\pi$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
القيمة/النهاية عند $x=-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi$	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
خطوط مقاربة	$x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$
نقاط حرجة	$k\pi$
ملاحظات	$k\in \mathbb {Z}$

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع الزاوية (بالإنجليزية: Secant)‏، سميّت سابقًا بقُطْر الظِّل، هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية، يرمز له بـ ${\sec(x)}$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$. أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

حيث $E_{n}$ هو عدد أويلر و $U_{n}$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو:

$${\frac {d}{dx}}\sec x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin \,x}{\cos x}}=\sec x\cdot \tan x.$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

$\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}$

انظر أيضًا

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية