جمع

جمع التفاحات 3+2=5

الجمعهو عملية رياضية تُبنى عليه فكرة ضم مجموعتين من الأشياء في مجموعة واحدة. وتكرار الجمع هو أبسط أنواع العد. والقيام بالجمع هو أحد أبسط المهام العددية، ويمكن للأطفال الذين يبلغ عمرهم خمسة أشهر، بل بعض الحيوانات، القيام بها.

علامة الجمع ومصطلحاته

علامة زائد

تُكتب عملية الجمع باستخدام علامة زائد + بين العددين، وتكون النتيجة تالية لعلامة يساوي =، فعلى سبيل المثال:

$1+1=2$ تُلفض واحد زائد واحد يساوي اثنين،

$2+2=4$ تُلفض اثنان زائد اثنان تساوي أربعة،

$3+3=6$ تُلفض ثلاثة زائد ثلاثة تساوي ستة،

$5+4+2=11$ (انظر إلى خاصية التجميعية أسفله)

$3+3+3+3=12$ (انظر إلى الجداء أسفله)

هناك في بعض الأحيان يُفهم وجود جمع برغم عدم وجود علامة زائد، وذلك مثلا عندما تكون الأعداد فوق بعضها البعض مع وضح خط تحت الرقم الأخير، فعندئذ يُفهم أن المجموع هو ما يكون تحت الخط. وهناك أيضا بالنسبة للكسور فإن وضع الكسر ملاصقا للرقم يعني جمعهما معا مثل:

3½ = 3 + ½ = 3.5.

وتعرف عادة الأعداد المجموعة بالحدود أو المكونات الجمعية أو الأعداد المضافة.

حدود عملية الجمع جاءت على شكل عمودي. الخط الأفقي يكافئ علامة التساوي والعدد الذي أسفله هو ناتج العملية : 5 + 12 = 17

يمكن أن يُرمز إلى مجموع متسلسلة باستعمال الحرف الإغريقي سيغما في شكله الكبير، كما يبين المثال التالي:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

تفسيرات

يُستخدم الجمع نموذجا للتعبير عن كافة العمليات الطبيعية، وحتى في أبسط حالات إضافة الأعداد الطبيعية، فهناك العديد من التفسيرات لذلك، وهناك أيضا العديد من التصويرات المرئية للجمع.

تجميع المجموعات

ربما يكمن أكثر تفسيرات الجمع بساطة في فكرة تجميع المجموعات: عندما يتم تجميع مجموعتين لتصبحان مجموعة مفردة، فإن عدد الأشياء الموجودة في المجموعة المفردة يساوي عدد الأشياء في المجموعتين الأصليتين. ويمكن بسهولة تصور هذا التفسير على نحو مرئي بدون إبهام، وهذا التفسير هام أيضا في المستويات العليا في الرياضيات، إلا أنه يصعب الامتداد بهذا التفسير ليشمل الأعداد الكسرية ولا الأعداد السالبة. إلا أنه للتغلب على هذا النقص يمكن اعتبار الأشياء في المجموعة أنها يمكن تقسيمها بسهولة، مثل الفطائر أو العصي المقسمة، وبدلا من أن نتصور مجرد جمع الأقسام معا، يمكن تصور وضع العصاتين بحيث يكون طرف إحداهما ملاصقا لطرف الأخرى، فيكون الطول الكلي لهما هو مجموع طول كل منها.

مد الطول

تمثيل بياني على شكل مستقيم لعملية الجمع 2 + 4 = 6. إزاحة بمقدار اثنين فإزاحة بمقدار أربعة تكافئ إزاحة بمقدار ستة.

هناك تفسير آخر للجمع وهو مد طول قطعة ما بمقدار معين. وعندما يمتد الطول الأصلي بهذا المقدار، يكون الطول النهائي للقطعة هو الطول الأصلي مجموعا عليه طول الامتداد. ويمكن تصوير ذلك على خط الأعداد، فمثلا بالنسبة لعملية الجمع 2+4=6 فهي مكافئة للانتقال بمقدار 2 على خط الأعداد يتلوها الانتقال بمقدار 4، فيكون الناتج مساويا لانتقال بمقدار 6. وعلى هذا المنوال يمكن تفسير مجموع أ+ب كعملية ثنائية تضيف مقدار ب من الوحدات إلى أ.

خواص عملية الجمع

الإبدال

شكل يبين كون 4 + 2 = 2 + 4

الجمع عملية تبديلية. يعني هذا إمكانية عكس أماكن الحدود ويظل الناتج كما هو. مثلا 4 + 2 = 2 + 4. أو رمزيا a + b = b + a. عملية الضرب على سبيل المثال هي أيضا عملية تبديلية. ولكن ليست جميع العمليات الثنائية تبديلية. عمليتا الطرح والقسمة مثالان.

التجميعية

أي يمكن عند جمع أكثر من عدد، فإنه يمكن وضع أقواس حول مجموع أي حدين أو أكثر بحيث يدمجان معا ويضاف مجموعهما إلى باقي الحدود، ولا يحتلف الناتج باختلاف الحدود المدمجة فمثلا: 2+(1+3) = (2+1)+3 وأيضا فإن أ+ب+ج يمكن التعبير عنها: (أ+ب)+ج أو أ+(ب+ج) بدون اختلاف في الناتج.

المحايد الجمعي

يسمى الصفر العنصر الحيادي للجمع لأنه إذا جمع مع أي عدد آخر يكون الناتج هو العدد نفسه. على سبيل المثال، $5=5+0$ وبشكل عام، تكتب المعادلة كما يلي:

$a=a+0$

المعاكس الجمعي

يسمى a- المعاكس الجمعي لأنه إذا جُمع مع العدد a يكون الناتج هو العنصر المحايد للجمع وهو الصفر. كذلك العدد a هو المعاكس الجمعي للعدد a-. على سبيل المثال، 4- هو المعاكس الجمعي للعدد 4 و 4 هو المعاكس الجمعي للعدد 4- لأن $-4+4=4+-4=0$. تكتب المعادلة بشكل عام كما يلي:

$a+-a=-a+a=0$

الوحدات

من أجل إضافة الكميات الفيزيائية بشكل صحيح لابد من أن يكون التعبير عن الحدود المجموعة بنفس الوحدات، فلا يمكننا إضافة 520 سم من طول الحبل مثلا إلى ثلاثة أمتار من طوله، فإذن لابد من تحويل أحدهما إلى الوحدة الأخرى. وأيضا لابد من ملاحظة أنه لا يمكن جمع كميات فيزيائية مختلفة، فلا يمكن جمع الوزن والطول معا في أي حال من الأحوال.

الجمع كأساس لباقي العمليات

الجمع هو أساس كافة العمليات الحسابية، فهو أساس عملية الطرح، حيث يعد الطرح عملية جمع القيمة السالبة لعدد ما إلى عدد آخر. ويعد الضرب هو تكرار جمع عدد معين إلى نفسه عددا من المرات. ومن عملية الضرب تنشأ القسمة والأسس واللوغاريتمات وغيرها.

مصادر خارجية

برامج لتعليم الحساب